记f(x)g(x)在小区间[x21,x上的振幅为a,f(x)和g(x)在小区间 x,x上的振幅分别为a和o,,则上式意味着 ≤M(2+o), 因此 ∑0Ax≤MC∑oAx+∑Ax) 令λ=max(Δx)→0,不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性,得到 l≤i<n 根据 Riemann可积的充分必要条件,即知∫(x)g(x)在a,b]可积 要注意的是,一般说来 f(x)g()dx+ f()dx g(x)记 f x gx () () ⋅ 在小区间 [ ,] x x i i −1 上的振幅为 ωi ， f x( ) 和 g x( ) 在小区间 [ ,] x x i i −1 上的振幅分别为ωi′和ωi′′ ，则上式意味着 ( ) ωi ii ≤ M ω ω ′ + ′′ ， 因此 1 11 0( ) n nn i i ii ii i ii ω ωω x Mx x = == ≤ ∑ ∑∑ Δ≤ Δ+ Δ ′ ′′ 。 令 1max( ) 0 i i n λ x ≤ ≤ = Δ → ，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到 0 1 lim 0 n i i i x λ ω → = ∑ Δ = ， 根据 Riemann 可积的充分必要条件，即知 f x gx () () ⋅ 在[,] a b 可积。 要注意的是，一般说来 ( ) ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d b bb a aa f xgx x f x x gx x ≠ ⋅ ∫ ∫∫