高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 提示：「fx,yzd达=fIa0).y0,o0以o20)+w20）+aP0dt 例1计算∫VPd,其中L是抛物线=2上点00,0)与点B1,)之间的一段弧。 解曲线的方程为y=x2(0≤≤1)，因此 =-Fi+-i4r65-0. 例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量1（设线密度为 e1). 解取坐标系如图所示，则I=[y2dk 曲线L的参数方程为x=Rcos0,)y=Rsin0(-a心)， 于是I=Ly2b=.R2sin26V-Rsin02+(Rcos0d0 -R[sin2l0-R'(@-sinacos@). 例3计算曲线积分∫(r2+y2+z2)d还，其中T为螺旋线x=-acost、=-asint、2-k:上相应 于t从0到达2的一段弧。 解在曲线T上有x2+y2+z2=(acos)2+(asin)2+(k)2=a2+k2t2,并且 ds=(-asint)2+(acost)2+k2dt=a2+k2dt, 于是 [(2+y2+2ds =f"(a+k2P)l@+kd -号F+(62+4r2k. 例4计算x2ds,其中「为球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截的圆周。 解：由对称性可知 x'ds =fy'ds=f2ds fds-i+yds -ifods-ja'2xa 3a3。 小结：用曲线积分解决问题的步骤： (1)建立曲线积分； (2)写出曲线的参数方程（或直角坐标方程），确定参数的变化范围； (3)将曲线积分化为定积分； (4)计算定积分. 4