高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 dsds+ds; 性质3设在L上，g,以则∫fc,≤gx,还 特别地，有 fc,还华f,d 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分转化为计算定积分 另一方面，若曲线L的参数方程为x=),y=w()(≤， 则质量元素为 f(.y)ds=no(),v(ho()+v"()di, 曲线的质量为 f几o0,yto20+w2Gdh. 即 [f.yds-).vHo+di 定理设x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 x=0,=()(≤)，其中0)、)在[a,月上具有一阶连续导数，且()+w()≠0，则 曲线积分∫fc,)还存在，且 [Sx.yds-A.vHo20+vd(p. 证明（略） 说明：(I):△S>0,.△1>0，因此积分限必须满足≤β 注意到ds=V(dx)2+(dy)2=√p2(t)+P(t)d1因此上述计算公式相当于“换元 法”。 应注意的问题：定积分的下限α一定要小于上限B. 讨论：()若曲线L的方程为=((a≤≤b),则f(x,)d=? 提示：L的参数方程为x=x,y=(x)(a≤≤b), [fx达=fxwW+w2(dk (2)若曲线L的方程为x=0c≤≤，则∫fx,)还=？ 提示：L的参数方程为x=),yy(c≤d, f,s=f0),以p20W+1d. (3)若曲「的方程为x=40,=0,2=a0(a心，则f(化，y,2)d=?