高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 取极限：令m,-0,则整个物质前线的质量为M=m2以GA 1→01 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到， 定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数x,y)在L上有界.在L上任意插入一 点列M,M,·,Mn-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为△s,又（气，励为第i个小段 上任意取定的一点，作乘积点，As,(=l,2,·,n,并作和f传)△s,如果当各小弧 段的长度的最大值1→0，这和的极限总存在，则称此极限为函数x,y)在曲线弧L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作/c,达，即/，=im2f传，△s.其 中x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段. 曲线形构件的质量M=p(x,y,z的 2、曲线积分的存在性：当x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分 [f(x,)dk是 存在的.以后我们总假定x,)在L上是连续的 根据对弧长的曲线积分的定义，曲线形构件的质量就是曲线积分 (x,y)的值，其中 4(x,y)为线密度 对弧长的曲线积分的推广： Lfx.y.)ds-limm5)As, 20=1 根据对弧长的曲线积分的定义，如果曲线形构件L的线密度为x,y),则曲线形构件L 的质量为 [fx.yds 注意：(1)、如果L(或Γ)是分段光滑的，则规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在 光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定 Lds=fds+fyds (2)、闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分 记作fx,还 (3)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例？发 否！！对弧长的曲线积分要求ds≥0但定积分中，dr可能为负。 对弧长的曲线积分的性质： [[cf(y)+czg(x,y)lds=c[f(x.y)ds+c2[g(x.y)ds; 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则