曹法如等：改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 ·621 表1基准函数 Table 1 Reference function 编号 函数 表达式 维数 取值范围 理论最优解 1 Easom f0=-c0s(x)cos(x)×ep(-(x1-)2-(2-)2) 2 [-100100] min=-1 Booth f(X)=(x1+22-7)2-(2x1+2-5)2 2 [-1010] min =0 Eggerate f(X)=+25(sinx+sinx) 2 [-r] min=0 Schaffer f(X)=0.5+ sim+2-0.5 [-100100] min =0 0+0.001(所+均]下 5 Squmsquares f0=A或 10/20 [-100100] min=0 6 Rastrigin (x)-10co (2)+10] 10/20 [-5.125.12] min =0 表2二维函数优化结果对比 Table 2 Comparison of two dimensional function optimization results 函数 方法 最佳值 最差值 平均值 标准差 平均时间/s AFSA -1 -0.9994 -0.9999 1.2905×10-4 6.6616 Easom IAFSA· -1 -1 -1 3.0019x10-7 1.9708 IAFSA -1 -1 -1 2.9798×10-7 0.3558 AFSA 3.8778×10-8 9.9503×10-7 5.7542×10-7 2.9950×10-7 1.0006 Booth IAFSA* 5.2530×10-8 9.8125×10-7 4.4545×10-7 2.9262×10-7 0.6586 IAFSA 1.6877×10-8 9.9473×10-7 4.3854×10-7 2.8775×10-7 0.5791 AFSA 6.9275×10-8 1.1218×10-5 1.1309×10-6 1.7537×10-6 3.6406 Eggcrate IAFSA· 3.9301×10-9 8.9578×10-7 3.5447×10-7 2.6372×10-1 1.2168 IAFSA 2.5636×10-9 9.9677×10-7 4.3027×10-7 3.2425×10-7 0.4810 AFSA 2.8652×10-8 3.4188×10-5 8.7657×10-6 8.9713×10-6 5.5970 Schaffer IAFSA· 1.8510×10-8 9.9797×10-7 5.0035×10-7 2.9768×10-7 0.5565 IAFSA 2.2049×10-9 9.6439×10-7 3.2632×10-7 2.9739×10-1 0.3259 注：a.文献2]提出的方法，下同 表2中给出了Easom、Booth、Eggcrate和Schaffer 或系统的控制.但由于系统结构的不同和环境的复杂 函数的优化结果.通过分析发现，在相同求解精度的 多变导致数学模型呈现多样化.当今社会对生产设备 前提下，改进鱼群算法在收敛速度和寻优精度方面有 的稳定性和可靠性的要求越来越高，经典系统辨识方 明显的优势 法不能满足实际工业需求.限于篇幅，本文仅利用改 本文采用Squmsquares和Rastrigin函数对改进鱼 进鱼群算法对一阶和二阶时滞系统进行模式辨识，一 群算法、粒子群算法(PSO)和遗传算法(GA)的性能进 阶和二阶时滞系统如表4所示.表中k表示放大系 行测试.测试时种群规模均设置成50，迭代次数为 数，？表示迟滞时间，a,表示时间系数，b。表示与时间相 1500次：粒子群算法中设置初速度为c,=c2=2,权重 关的系数，b,表示与时间和阻尼相关的系数. 为w=0.7298;遗传算法中设置交叉概率为0.7，变异 根据系统的输入、输出数据得到数学模型的过程 概率为0.01.统计各算法的最优值、最差值、平均值和 被称为系统辨识.本文使用的最优目标函数如公式 标准差如表3所示. (6)所示网，∫表示的是对应点的辨识输出值与理论输 测试结果表明，除了10维Rastrigin函数外，本文 出值的差的平方之和，也是改进人工鱼群算法中的食 提出的改进鱼群算法均优于其它算法.改进人工鱼群 物浓度函数.测试时设定算法结束条件为∫<106；辨 算法通过动态调整视野和步长以及引入引导行为克服 识各参数的范围设置为(010]：人工鱼群算法中的种 了收敛精度低和收敛速度慢的问题 群规模为N=50,Try_number=25,a=0.5,b=2,最大 2系统辨识 迭代次数T=100. (6) 在生产领域，迫切需要精准的数学模型用于设备曹法如等: 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 表 1 基准函数 Table 1 Ｒeference function 编号 函数 表达式 维数 取值范围 理论最优解 1 Easom f( X) = － cos ( x1 ) cos ( x2 ) × exp ( － ( x1 － π) 2 － ( x2 － π) 2 ) 2 ［－ 100 100］ min = － 1 2 Booth f( X) = ( x1 + 2x2 － 7) 2 － ( 2x1 + x2 － 5) 2 2 ［－ 10 10］ min = 0 3 Eggcrate f( X) = x2 1 + x2 2 + 25( sin2 x1 + sin2 x2 ) 2 ［－ π π］ min = 0 4 Schaffer f( X) = 0. 5 + ( sin x2 槡1 + x2 2 ) 2 － 0. 5 ［1 + 0. 001( x2 1 + x2 2) ］2 2 ［－ 100 100］ min = 0 5 Squmsquares f( X) = ∑ D i = 1 ix2 i 10 /20 ［－ 100 100］ min = 0 6 Ｒastrigin f( X) = ∑ D i = 1 ［x2 i － 10cos ( 2πxi ) + 10］ 10 /20 ［－ 5. 12 5. 12］ min = 0 表 2 二维函数优化结果对比 Table 2 Comparison of two dimensional function optimization results 函数 方法 最佳值 最差值 平均值 标准差 平均时间/ s AFSA － 1 － 0. 9994 － 0. 9999 1. 2905 × 10 － 4 6. 6616 Easom IAFSAa － 1 － 1 － 1 3. 0019 × 10 － 7 1. 9708 IAFSA － 1 － 1 － 1 2. 9798 × 10 － 7 0. 3558 AFSA 3. 8778 × 10 － 8 9. 9503 × 10 － 7 5. 7542 × 10 － 7 2. 9950 × 10 － 7 1. 0006 Booth IAFSAa 5. 2530 × 10 － 8 9. 8125 × 10 － 7 4. 4545 × 10 － 7 2. 9262 × 10 － 7 0. 6586 IAFSA 1. 6877 × 10 － 8 9. 9473 × 10 － 7 4. 3854 × 10 － 7 2. 8775 × 10 － 7 0. 5791 AFSA 6. 9275 × 10 － 8 1. 1218 × 10 － 5 1. 1309 × 10 － 6 1. 7537 × 10 － 6 3. 6406 Eggcrate IAFSAa 3. 9301 × 10 － 9 8. 9578 × 10 － 7 3. 5447 × 10 － 7 2. 6372 × 10 － 7 1. 2168 IAFSA 2. 5636 × 10 － 9 9. 9677 × 10 － 7 4. 3027 × 10 － 7 3. 2425 × 10 － 7 0. 4810 AFSA 2. 8652 × 10 － 8 3. 4188 × 10 － 5 8. 7657 × 10 － 6 8. 9713 × 10 － 6 5. 5970 Schaffer IAFSAa 1. 8510 × 10 － 8 9. 9797 × 10 － 7 5. 0035 × 10 － 7 2. 9768 × 10 － 7 0. 5565 IAFSA 2. 2049 × 10 － 9 9. 6439 × 10 － 7 3. 2632 × 10 － 7 2. 9739 × 10 － 7 0. 3259 注: a． 文献［12］提出的方法，下同． 表 2 中给出了 Easom、Booth、Eggcrate 和 Schaffer 函数的优化结果． 通过分析发现，在相同求解精度的 前提下，改进鱼群算法在收敛速度和寻优精度方面有 明显的优势． 本文采用 Squmsquares 和 Ｒastrigin 函数对改进鱼 群算法、粒子群算法( PSO) 和遗传算法( GA) 的性能进 行测试． 测试时种群规模均设置成 50，迭代次数为 1500 次; 粒子群算法中设置初速度为 c1 = c2 = 2，权重 为 w = 0. 7298; 遗传算法中设置交叉概率为 0. 7，变异 概率为 0. 01． 统计各算法的最优值、最差值、平均值和 标准差如表 3 所示． 测试结果表明，除了 10 维 Ｒastrigin 函数外，本文 提出的改进鱼群算法均优于其它算法． 改进人工鱼群 算法通过动态调整视野和步长以及引入引导行为克服 了收敛精度低和收敛速度慢的问题． 2 系统辨识 在生产领域，迫切需要精准的数学模型用于设备 或系统的控制． 但由于系统结构的不同和环境的复杂 多变导致数学模型呈现多样化． 当今社会对生产设备 的稳定性和可靠性的要求越来越高，经典系统辨识方 法不能满足实际工业需求． 限于篇幅，本文仅利用改 进鱼群算法对一阶和二阶时滞系统进行模式辨识，一 阶和二阶时滞系统如表 4 所示． 表中 k 表示放大系 数，τ 表示迟滞时间，a0表示时间系数，b0表示与时间相 关的系数，b1表示与时间和阻尼相关的系数． 根据系统的输入、输出数据得到数学模型的过程 被称为系统辨识． 本文使用的最优目标函数如公式 ( 6) 所示［9］，f 表示的是对应点的辨识输出值与理论输 出值的差的平方之和，也是改进人工鱼群算法中的食 物浓度函数． 测试时设定算法结束条件为 f ＜ 10 － 6 ; 辨 识各参数的范围设置为( 0 10］; 人工鱼群算法中的种 群规模为 N = 50，Try_number = 25，a = 0. 5，b = 2，最大 迭代次数 T = 100． f = ∑ n i = 1 err2 i ． ( 6) · 126 ·