工程科学学报，第39卷，第4期：619625,2017年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.4:619-625,April 2017 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.018:http://journals.ustb.edu.cn 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 曹法如四，冯茂林 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:caofarut@163.com 摘要针对人工鱼群算法(AFSA)存在收敛速度慢和寻优精度低等问题，本文提出了一种改进人工鱼群算法(IAFSA).该 算法中的人工鱼能够根据鱼群当前状态调整自身的视野和步长来平衡局部搜索和全局搜索.此外，算法中还加入了引导行 为，即人工鱼在觅食行为未发现更优的位置时，当前人工鱼向最优人工鱼移动一步.仿真结果表明，改进人工鱼群算法在收 敛速度、寻优精度和克服局部极值等方面有很大优势.本文将改进鱼群算法应用时滞系统的辨识中，辨识结果表明改进算法 能获取被控对象的精准数学模型，并具有较强的抗干扰能力 关键词人工鱼群算法：函数优化：系统辨识：时滞系统 分类号TP181 An improved artificial fish swarm algorithm and its application on system identification with a time-delay system CAO Fa-ru,FENG Mao-Hlin School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:caofaru@163.com ABSTRACT To remedy the low convergence rate and low optimization accuracy of the artificial fish swarm algorithm (AFSA),an improved artificial fish swarm algorithm (IAFSA)was proposed.In the improved algorithm,the artificial fish could adjust the vision and step and form a balance between the local search and global search by identifying the actual condition.Furthermore,when the artificial fish in the foraging behavior does not find a better position than the current location,it steps forward to the optimal artificial fish by introducing the guide behavior to improved algorithm.The results indicate that the improved algorithm has advantages such as convergence rate,optimization accuracy,and anti local extremum value.The improved algorithm was applied to the system identifica- tion with the time-delay model.This algorithm can obtain a precise mathematical model of the controlled object and acquire great iden- tification accuracy in the case of external interference. KEY WORDS artificial fish swarm algorithm;function optimization:system identification;time-delay systems 人工鱼群算法(artificial fish swarm algorithm,AF- 性大、收敛速度慢和计算精度低等问题，为解决上述问 SA)是一种基于动物自治体的寻优模式，根据鱼群的题，本文提出了一种改进型人工鱼群算法(improved 捕食行为等特点提出了人工鱼群算法，该算法中包含 artificial fish swarm algorithm,IFSA).在原始人工鱼 觅食行为、聚群行为和追尾行为等四.因人工鱼群算 群算法中，随机行为可以看作觅食行为的简化，并不利 法对初值敏感性低，并具有较强的鲁棒性和全局收敛 于快速的向最优区域靠拢.因此增加引导行为来改善 性，所以该算法已被广泛应用于科学研究和工业生产 寻优速度，即人工鱼未发现更优位置时，向全局中最优 等领域P.研究发现，该算法在搜索后期的存在盲目 人工鱼移动一步.改进后人工鱼可根据自身状态动态 收稿日期：201606-28 基金项目：北京市科技计划资助项目(Z121100003012016)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期: 619--625，2017 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 4: 619--625，April 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 04． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 曹法如，冯茂林 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: caofaru@ 163． com 摘 要 针对人工鱼群算法( AFSA) 存在收敛速度慢和寻优精度低等问题，本文提出了一种改进人工鱼群算法( IAFSA) ． 该 算法中的人工鱼能够根据鱼群当前状态调整自身的视野和步长来平衡局部搜索和全局搜索． 此外，算法中还加入了引导行 为，即人工鱼在觅食行为未发现更优的位置时，当前人工鱼向最优人工鱼移动一步． 仿真结果表明，改进人工鱼群算法在收 敛速度、寻优精度和克服局部极值等方面有很大优势． 本文将改进鱼群算法应用时滞系统的辨识中，辨识结果表明改进算法 能获取被控对象的精准数学模型，并具有较强的抗干扰能力． 关键词 人工鱼群算法; 函数优化; 系统辨识; 时滞系统 分类号 TP181 An improved artificial fish swarm algorithm and its application on system identification with a time-delay system CAO Fa-ru ，FENG Mao-lin School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: caofaru@ 163． com ABSTＲACT To remedy the low convergence rate and low optimization accuracy of the artificial fish swarm algorithm ( AFSA) ，an improved artificial fish swarm algorithm ( IAFSA) was proposed． In the improved algorithm，the artificial fish could adjust the vision and step and form a balance between the local search and global search by identifying the actual condition． Furthermore，when the artificial fish in the foraging behavior does not find a better position than the current location，it steps forward to the optimal artificial fish by introducing the guide behavior to improved algorithm． The results indicate that the improved algorithm has advantages such as convergence rate，optimization accuracy，and anti local extremum value． The improved algorithm was applied to the system identification with the time-delay model． This algorithm can obtain a precise mathematical model of the controlled object and acquire great identification accuracy in the case of external interference． KEY WOＲDS artificial fish swarm algorithm; function optimization; system identification; time-delay systems 收稿日期: 2016--06--28 基金项目: 北京市科技计划资助项目( Z121100003012016) 人工鱼群算法( artificial fish swarm algorithm，AFSA) 是一种基于动物自治体的寻优模式，根据鱼群的 捕食行为等特点提出了人工鱼群算法，该算法中包含 觅食行为、聚群行为和追尾行为等［1］． 因人工鱼群算 法对初值敏感性低，并具有较强的鲁棒性和全局收敛 性，所以该算法已被广泛应用于科学研究和工业生产 等领域［2--5］． 研究发现，该算法在搜索后期的存在盲目 性大、收敛速度慢和计算精度低等问题，为解决上述问 题，本文提出了一种改进型人工鱼群算法( improved artificial fish swarm algorithm，IAFSA) ． 在原始人工鱼 群算法中，随机行为可以看作觅食行为的简化，并不利 于快速的向最优区域靠拢． 因此增加引导行为来改善 寻优速度，即人工鱼未发现更优位置时，向全局中最优 人工鱼移动一步． 改进后人工鱼可根据自身状态动态
·620 工程科学学报，第39卷，第4期 调整视野和步长，较好地平衡全局搜索和局部搜索 的方法进行了详细阐述，通过优化寻优参数提高了算 仿真结果表明，改进人工鱼群算法在大多数寻优问题 法的收敛速度和计算精度，其表达式为 中具有更高的寻优精度和更快的收敛速度. Visual Visual xA Visual 在系统控制领域，使用实验数据获取精准控制模 Step=Step×A+Stepi' (3) 型是该领域的重要课题之一.经典的模式辨识方法有 LA=exp (-30 (/T)) 最小二乘法、极大似然估计和预报误差估计等.近几 式中：Visual=0.001,Step=0.0002,t为当前迭代 年来，随着智能算法的兴起和发展，智能算法已被应用 次数，T为最大迭代次数.由于该方法需要进行参数 到系统辨识中，例如粒子群算法(particle swarm optimi-- 设定，且该方法由于与迭代次数密切相关，导致收敛速 zation,PSO)和遗传算法（genetic algorithm,GA) 度慢和寻优精度低，因此本文提出了一种新的动态调 等-0.本文利用改进鱼群算法对时滞系统进行仿真 整视野和步长的方法，即设定人工鱼群的中心位置为 辨识，并对叠加白噪声的时滞系统进行仿真辨识，辨识 Xm,则该人工鱼的视野和步长由公式(4)计算得到. 结果表明该算法能够获取辨识对象的精准数学模型， a×Visual=b×Step=‖X,-Xul. (4) 也证明了改进鱼群算法的有效性 式中：a和b是系数，取值均大于0. 1改进的人工鱼群算法(IAFSA) 1.6算法流程 (1)初始化人工鱼群，其内容包括设定规模N、尝 1.1相关定义 试次数Try_number、拥挤因子8和最大的迭代次数 人工鱼的状态可用向量表示为X=(X,X,,“, T等： X),其中X(i=1,2,…,W)为被寻优的变量，N为人 (2)按照公式(4)对视野和步长进行设定和更新： 工鱼数量.Y=∫(X)为人工鱼当前位置的食物浓度. (3)计算人工鱼的当前食物浓度，并与公告板上 Visual表示人工鱼的视野，Slep表示人工鱼的移动步 的最优值进行对比，若优于最优值，则更新公告板： 长，8表示拥挤因子，d,=‖X:-X‖为人工鱼之间的 (4)执行聚群行为、追尾行为和觅食行为等，并选 距离，i和j表示人工鱼的编号 择最优人工鱼与公告板上的最优值进行对比，若优于 1.2觅食行为 最优值，则更新公告板： 设定当前人工鱼的状态为X,在其视野范围内， (5)迭代次数和寻优精度是计算终止的判定依 按照公式(1)随机选择一个状态X·在求极大值问题 据，若满足其一则停止迭代计算，否则转到(2) 中，即Y,Y·因为极大值和 1.7仿真实验 极小值问题可以相互转化，以下以极大值问题讨论)， 本文使用的测试平台为Matlab.2014a和Win- 则X直接移动到X:否则，重新选择一个随机状态X； dows7,其机器主频为2.3GHz,内存4GB,并使用6个 反复尝试后（大于最大尝试次数），若仍不能满足移动 基准函数作为测试函数.如表1中的6个基准函数都 条件，则使用引导行为按照公式(2)向全局最优位置 是优化难度较大的复杂优化问题，可全面地检验改进 X移动 算法的性能。 X=X:(2 x rand -1)x Visual, (1) 为对比人工鱼群算法和改进人工鱼群算法的性 X-X =X rand xStep (2) 能，利用这两种算法分别对4种二维函数进行50次独 立寻优测试，并使用最优值、最差值、平均值和标准差 式中：i,j=1,2,3,…,N,rand是01]之间的随机数. 等作为性能评价指标.测试时鱼群规模统一设置成 1.3聚群行为 50:AFSA算法中设置Easom、Schaffer和Squmsquares 设定人工鱼的当前状态为X,m是X,的视野范围 函数的尝试次数Try_number=25,Visual=25,Step=4; 内人工鱼数量，X是人工鱼当前视野中所有人工鱼的 设置Booth,Eggcrate和Rastrigin函数的尝试次数Ty_ 中心.若Y8Y,X,向X移动一步，否则 number=25,Visual=1,Sep=0.5;本文改进人工鱼群 执行觅食行为四 算法中设置尝试次数Try_number=25,a=0.5,b=2. 1.4追尾行为 对Easom、Booth、Eggcrate和Schaffer函数进行了 设定人工鱼的当前状态为X,X是X的当前视野 寻优测试，设置迭代次数为300次，并给出了相应的最 中的最优人工鱼位置.若YY,则向X 优值、最差值、平均值、标准差和平均时间，如表2所 的方向移动一步，否则执行觅食行为四 示.寻优终止条件如公式(5)所示，其中F”为理论值， 1.5动态视野和步长 F为寻优值 文献2]中已对动态调整视野Visual和步长Step IF°-F1<10-6 (5)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 调整视野和步长，较好地平衡全局搜索和局部搜索． 仿真结果表明，改进人工鱼群算法在大多数寻优问题 中具有更高的寻优精度和更快的收敛速度． 在系统控制领域，使用实验数据获取精准控制模 型是该领域的重要课题之一． 经典的模式辨识方法有 最小二乘法、极大似然估计和预报误差估计等． 近几 年来，随着智能算法的兴起和发展，智能算法已被应用 到系统辨识中，例如粒子群算法( particle swarm optimization，PSO ) 和 遗 传 算 法 ( genetic algorithm，GA ) 等［6--10］． 本文利用改进鱼群算法对时滞系统进行仿真 辨识，并对叠加白噪声的时滞系统进行仿真辨识，辨识 结果表明该算法能够获取辨识对象的精准数学模型， 也证明了改进鱼群算法的有效性． 1 改进的人工鱼群算法( IAFSA) 1. 1 相关定义 人工鱼的状态可用向量表示为 X = ( X1，X2，…， XN) ，其中 Xi ( i = 1，2，…，N) 为被寻优的变量，N 为人 工鱼数量． Y = f( X) 为人工鱼当前位置的食物浓度． Visual 表示人工鱼的视野，Step 表示人工鱼的移动步 长，δ 表示拥挤因子，dij = ‖Xi － Xj‖为人工鱼之间的 距离，i 和 j 表示人工鱼的编号． 1. 2 觅食行为 设定当前人工鱼的状态为 Xi，在其视野范围内， 按照公式( 1) 随机选择一个状态 Xj ． 在求极大值问题 中，即 Yi ＜ Yj ( 在极小值问题中，Yi ＞ Yj ． 因为极大值和 极小值问题可以相互转化，以下以极大值问题讨论) ， 则 Xi直接移动到 Xj ; 否则，重新选择一个随机状态 Xj ; 反复尝试后( 大于最大尝试次数) ，若仍不能满足移动 条件，则使用引导行为按照公式( 2) 向全局最优位置 Xg移动． Xj = Xi + ( 2 × rand － 1) × Visual， ( 1) Xj = Xi + rand × Step Xg － Xi ‖Xg － Xi‖． ( 2) 式中: i，j = 1，2，3，…，N，rand 是［0 1］之间的随机数． 1. 3 聚群行为 设定人工鱼的当前状态为 Xi，m 是 Xi的视野范围 内人工鱼数量，Xc是人工鱼当前视野中所有人工鱼的 中心． 若 Yi ＜ Yc且 Yc /m ＞ δYi，Xi向 Xc移动一步，否则 执行觅食行为［11］． 1. 4 追尾行为 设定人工鱼的当前状态为 Xi，Xj是 Xi的当前视野 中的最优人工鱼位置． 若 Yi ＜ Yj且 Yj /m ＞ δYi，则向 Xj 的方向移动一步，否则执行觅食行为［11］． 1. 5 动态视野和步长 文献［12］中已对动态调整视野 Visual 和步长 Step 的方法进行了详细阐述，通过优化寻优参数提高了算 法的收敛速度和计算精度，其表达式为 Visual = Visual × A + Visualmin， Step = Step × A + Stepmin， A = exp ( － 30 ( t / Tmax ) s ) { ． ( 3) 式中: Visualmin = 0. 001，Stepmin = 0. 0002，t 为当前迭代 次数，Tmax为最大迭代次数． 由于该方法需要进行参数 设定，且该方法由于与迭代次数密切相关，导致收敛速 度慢和寻优精度低，因此本文提出了一种新的动态调 整视野和步长的方法，即设定人工鱼群的中心位置为 Xall，则该人工鱼的视野和步长由公式( 4) 计算得到． a × Visual = b × Step = ‖Xi － Xall‖． ( 4) 式中: a 和 b 是系数，取值均大于 0． 1. 6 算法流程 ( 1) 初始化人工鱼群，其内容包括设定规模 N、尝 试次数 Try _ number、拥挤因子 δ 和最大的 迭 代 次 数 T 等; ( 2) 按照公式( 4) 对视野和步长进行设定和更新; ( 3) 计算人工鱼的当前食物浓度，并与公告板上 的最优值进行对比，若优于最优值，则更新公告板; ( 4) 执行聚群行为、追尾行为和觅食行为等，并选 择最优人工鱼与公告板上的最优值进行对比，若优于 最优值，则更新公告板; ( 5) 迭代次数和寻优精度是计算终止的判定依 据，若满足其一则停止迭代计算，否则转到( 2) ． 1. 7 仿真实验 本文使用的测试平台为 Matlab2014a 和 Windows7，其机器主频为 2. 3 GHz，内存 4 GB，并使用 6 个 基准函数作为测试函数． 如表 1 中的 6 个基准函数都 是优化难度较大的复杂优化问题，可全面地检验改进 算法的性能． 为对比人工鱼群算法和改进人工鱼群算法的性 能，利用这两种算法分别对 4 种二维函数进行 50 次独 立寻优测试，并使用最优值、最差值、平均值和标准差 等作为性能评价指标． 测试时鱼群规模统一设置成 50; AFSA 算 法 中 设 置 Easom、Schaffer 和 Squmsquares 函数的尝试次数 Try_number = 25，Visual = 25，Step = 4; 设置 Booth，Eggcrate 和 Ｒastrigin 函数的尝试次数 Try _ number = 25，Visual = 1，Step = 0. 5; 本文改进人工鱼群 算法中设置尝试次数 Try_number = 25，a = 0. 5，b = 2． 对 Easom、Booth、Eggcrate 和 Schaffer 函数进行了 寻优测试，设置迭代次数为 300 次，并给出了相应的最 优值、最差值、平均值、标准差和平均时间，如表 2 所 示． 寻优终止条件如公式( 5) 所示，其中 F* 为理论值， F 为寻优值． | F* － F| ＜ 10 － 6 ． ( 5) · 026 ·
曹法如等：改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 ·621 表1基准函数 Table 1 Reference function 编号 函数 表达式 维数 取值范围 理论最优解 1 Easom f0=-c0s(x)cos(x)×ep(-(x1-)2-(2-)2) 2 [-100100] min=-1 Booth f(X)=(x1+22-7)2-(2x1+2-5)2 2 [-1010] min =0 Eggerate f(X)=+25(sinx+sinx) 2 [-r] min=0 Schaffer f(X)=0.5+ sim+2-0.5 [-100100] min =0 0+0.001(所+均]下 5 Squmsquares f0=A或 10/20 [-100100] min=0 6 Rastrigin (x)-10co (2)+10] 10/20 [-5.125.12] min =0 表2二维函数优化结果对比 Table 2 Comparison of two dimensional function optimization results 函数 方法 最佳值 最差值 平均值 标准差 平均时间/s AFSA -1 -0.9994 -0.9999 1.2905×10-4 6.6616 Easom IAFSA· -1 -1 -1 3.0019x10-7 1.9708 IAFSA -1 -1 -1 2.9798×10-7 0.3558 AFSA 3.8778×10-8 9.9503×10-7 5.7542×10-7 2.9950×10-7 1.0006 Booth IAFSA* 5.2530×10-8 9.8125×10-7 4.4545×10-7 2.9262×10-7 0.6586 IAFSA 1.6877×10-8 9.9473×10-7 4.3854×10-7 2.8775×10-7 0.5791 AFSA 6.9275×10-8 1.1218×10-5 1.1309×10-6 1.7537×10-6 3.6406 Eggcrate IAFSA· 3.9301×10-9 8.9578×10-7 3.5447×10-7 2.6372×10-1 1.2168 IAFSA 2.5636×10-9 9.9677×10-7 4.3027×10-7 3.2425×10-7 0.4810 AFSA 2.8652×10-8 3.4188×10-5 8.7657×10-6 8.9713×10-6 5.5970 Schaffer IAFSA· 1.8510×10-8 9.9797×10-7 5.0035×10-7 2.9768×10-7 0.5565 IAFSA 2.2049×10-9 9.6439×10-7 3.2632×10-7 2.9739×10-1 0.3259 注：a.文献2]提出的方法，下同 表2中给出了Easom、Booth、Eggcrate和Schaffer 或系统的控制.但由于系统结构的不同和环境的复杂 函数的优化结果.通过分析发现，在相同求解精度的 多变导致数学模型呈现多样化.当今社会对生产设备 前提下，改进鱼群算法在收敛速度和寻优精度方面有 的稳定性和可靠性的要求越来越高，经典系统辨识方 明显的优势 法不能满足实际工业需求.限于篇幅，本文仅利用改 本文采用Squmsquares和Rastrigin函数对改进鱼 进鱼群算法对一阶和二阶时滞系统进行模式辨识，一 群算法、粒子群算法(PSO)和遗传算法(GA)的性能进 阶和二阶时滞系统如表4所示.表中k表示放大系 行测试.测试时种群规模均设置成50，迭代次数为 数，？表示迟滞时间，a,表示时间系数，b。表示与时间相 1500次：粒子群算法中设置初速度为c,=c2=2,权重 关的系数，b,表示与时间和阻尼相关的系数. 为w=0.7298;遗传算法中设置交叉概率为0.7，变异 根据系统的输入、输出数据得到数学模型的过程 概率为0.01.统计各算法的最优值、最差值、平均值和 被称为系统辨识.本文使用的最优目标函数如公式 标准差如表3所示. (6)所示网，∫表示的是对应点的辨识输出值与理论输 测试结果表明，除了10维Rastrigin函数外，本文 出值的差的平方之和，也是改进人工鱼群算法中的食 提出的改进鱼群算法均优于其它算法.改进人工鱼群 物浓度函数.测试时设定算法结束条件为∫<106；辨 算法通过动态调整视野和步长以及引入引导行为克服 识各参数的范围设置为(010]：人工鱼群算法中的种 了收敛精度低和收敛速度慢的问题 群规模为N=50,Try_number=25,a=0.5,b=2,最大 2系统辨识 迭代次数T=100. (6) 在生产领域，迫切需要精准的数学模型用于设备
曹法如等: 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 表 1 基准函数 Table 1 Ｒeference function 编号 函数 表达式 维数 取值范围 理论最优解 1 Easom f( X) = － cos ( x1 ) cos ( x2 ) × exp ( － ( x1 － π) 2 － ( x2 － π) 2 ) 2 ［－ 100 100］ min = － 1 2 Booth f( X) = ( x1 + 2x2 － 7) 2 － ( 2x1 + x2 － 5) 2 2 ［－ 10 10］ min = 0 3 Eggcrate f( X) = x2 1 + x2 2 + 25( sin2 x1 + sin2 x2 ) 2 ［－ π π］ min = 0 4 Schaffer f( X) = 0. 5 + ( sin x2 槡1 + x2 2 ) 2 － 0. 5 ［1 + 0. 001( x2 1 + x2 2) ］2 2 ［－ 100 100］ min = 0 5 Squmsquares f( X) = ∑ D i = 1 ix2 i 10 /20 ［－ 100 100］ min = 0 6 Ｒastrigin f( X) = ∑ D i = 1 ［x2 i － 10cos ( 2πxi ) + 10］ 10 /20 ［－ 5. 12 5. 12］ min = 0 表 2 二维函数优化结果对比 Table 2 Comparison of two dimensional function optimization results 函数 方法 最佳值 最差值 平均值 标准差 平均时间/ s AFSA － 1 － 0. 9994 － 0. 9999 1. 2905 × 10 － 4 6. 6616 Easom IAFSAa － 1 － 1 － 1 3. 0019 × 10 － 7 1. 9708 IAFSA － 1 － 1 － 1 2. 9798 × 10 － 7 0. 3558 AFSA 3. 8778 × 10 － 8 9. 9503 × 10 － 7 5. 7542 × 10 － 7 2. 9950 × 10 － 7 1. 0006 Booth IAFSAa 5. 2530 × 10 － 8 9. 8125 × 10 － 7 4. 4545 × 10 － 7 2. 9262 × 10 － 7 0. 6586 IAFSA 1. 6877 × 10 － 8 9. 9473 × 10 － 7 4. 3854 × 10 － 7 2. 8775 × 10 － 7 0. 5791 AFSA 6. 9275 × 10 － 8 1. 1218 × 10 － 5 1. 1309 × 10 － 6 1. 7537 × 10 － 6 3. 6406 Eggcrate IAFSAa 3. 9301 × 10 － 9 8. 9578 × 10 － 7 3. 5447 × 10 － 7 2. 6372 × 10 － 7 1. 2168 IAFSA 2. 5636 × 10 － 9 9. 9677 × 10 － 7 4. 3027 × 10 － 7 3. 2425 × 10 － 7 0. 4810 AFSA 2. 8652 × 10 － 8 3. 4188 × 10 － 5 8. 7657 × 10 － 6 8. 9713 × 10 － 6 5. 5970 Schaffer IAFSAa 1. 8510 × 10 － 8 9. 9797 × 10 － 7 5. 0035 × 10 － 7 2. 9768 × 10 － 7 0. 5565 IAFSA 2. 2049 × 10 － 9 9. 6439 × 10 － 7 3. 2632 × 10 － 7 2. 9739 × 10 － 7 0. 3259 注: a． 文献［12］提出的方法，下同． 表 2 中给出了 Easom、Booth、Eggcrate 和 Schaffer 函数的优化结果． 通过分析发现，在相同求解精度的 前提下，改进鱼群算法在收敛速度和寻优精度方面有 明显的优势． 本文采用 Squmsquares 和 Ｒastrigin 函数对改进鱼 群算法、粒子群算法( PSO) 和遗传算法( GA) 的性能进 行测试． 测试时种群规模均设置成 50，迭代次数为 1500 次; 粒子群算法中设置初速度为 c1 = c2 = 2，权重 为 w = 0. 7298; 遗传算法中设置交叉概率为 0. 7，变异 概率为 0. 01． 统计各算法的最优值、最差值、平均值和 标准差如表 3 所示． 测试结果表明，除了 10 维 Ｒastrigin 函数外，本文 提出的改进鱼群算法均优于其它算法． 改进人工鱼群 算法通过动态调整视野和步长以及引入引导行为克服 了收敛精度低和收敛速度慢的问题． 2 系统辨识 在生产领域，迫切需要精准的数学模型用于设备 或系统的控制． 但由于系统结构的不同和环境的复杂 多变导致数学模型呈现多样化． 当今社会对生产设备 的稳定性和可靠性的要求越来越高，经典系统辨识方 法不能满足实际工业需求． 限于篇幅，本文仅利用改 进鱼群算法对一阶和二阶时滞系统进行模式辨识，一 阶和二阶时滞系统如表 4 所示． 表中 k 表示放大系 数，τ 表示迟滞时间，a0表示时间系数，b0表示与时间相 关的系数，b1表示与时间和阻尼相关的系数． 根据系统的输入、输出数据得到数学模型的过程 被称为系统辨识． 本文使用的最优目标函数如公式 ( 6) 所示［9］，f 表示的是对应点的辨识输出值与理论输 出值的差的平方之和，也是改进人工鱼群算法中的食 物浓度函数． 测试时设定算法结束条件为 f ＜ 10 － 6 ; 辨 识各参数的范围设置为( 0 10］; 人工鱼群算法中的种 群规模为 N = 50，Try_number = 25，a = 0. 5，b = 2，最大 迭代次数 T = 100． f = ∑ n i = 1 err2 i ． ( 6) · 126 ·
·622 工程科学学报，第39卷，第4期 表3高维函数优化结果对比 Table3 Comparison of high dimensional function optimization results 函数 维数 方法 最佳值 最差值 平均值 标准差 AFSA 1.3713 779.5365 169.9517 214.5429 IAFSA* 1.0381×10-9 4.4401×10-6 4.6810×10-7 1.1229×10-6 10 PSO 5.4564×10-28 6.5316×10-4 1.3417×10-15 9.2349×10-15 GA 1.0114×10-3 17.8413 8.1762×10-1 2.7023 IAFSA 5.9888x10-57 1.0348×10-41 1.1867×10-42 2.1531×10-2 Squmsquares AFSA 1.0067×10 3.1160×104 2.4219×104 3.9354×103 IAFSA· 3.2940×10-5 8.4794×10-5 5.6721×10-5 9.9086×10-6 20 PSO 8.7652×104 1.5852×106 5.4685×105 3.3500×10 GA 2.7901 803.4326 125.1207 199.2067 IAFSA 1.2689×10-1” 1.2304×10-4 1.6685x10-5 2.6689×10-5 AFSA 21.2983 41.0617 32.8618 4.5161 IAFSA 5.9701 17.9095 10.7261 2.9149 10 PSO 12.9345 349.2173 125.9594 73.0887 GA 8.0130×10-4 7.0021 2.1151 1.6983 IAFSA 0.9950 10.9445 3.7311 1.9525 Rastrigin AFSA 102.0457 133.2552 120.2448 8.1998 IAFSA* 22.8871 64.6735 43.3623 7.3832 20 PSO 348.6820 1225.4552 674.0951 197.1180 GA 4.5570 24.4199 13.6161 4.7945 IAFSA 1.9899 10.9445 6.6861 2.1653 表4辨识传递函数 表5一阶时滞系统辨识结果 Table 4 Identification of the transfer function Table5 Identification results of the first order time-delay systems 传递函数 表达式 模型表达式 结束目标函数 辨识次数 k T G (s) *76 3 值10-7 %时*70n 3.0001 4.9994 6.0002 3.7014 G2(s) 2 e-2 k 6产+s+n 3.0001 4.9988 6.0007 7.1110 3.5s2+1.2s+ 3.0000 4.9997 6.0010 5.9011 式中，er:为辨识输出值和理论输出值的差，n为辨识 2.9999 5.0009 5.9990 8.6423 点的个数. 3.0000 5.0007 5.9999 1.5363 2.1一阶时滞系统辨识 (1)一阶时滞系统辨识 3.5 在表4中的一阶时滞系统G(s)共有三个参数需 3.0 要辨识，所以本文设定人工鱼为X=(a。,k,).测试 2.5 时首先获取G(s)传递函数的单位阶跃响应结果作为 原始辨识数据（时长为60s,间隔为1s)3,然后采 泛20 用改进鱼群算法对原始数据进行系统辨识.本文对一 1.5 阶时滞系统G,（s)进行5次辨识，其结果如表5所示. 1.0 辨识曲线 一理论曲线 从表5中可看出，改进人工鱼群算法在模式辨识 05 中具有很高的辨识精度，可直接用于时滞系统的辨识. 51015202530354045505560 图1中给出了一阶系统单位阶跃响应下理论响应曲线 时间/s 和辨识模型的响应曲线对比结果，从图中看出辨识结 图1一阶时滞系统单位阶跃响应曲线 果精度很高.图2中给出了系统辨识误差随迭代次数 Fig.1 Unit step response curve of the first order delay system
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 表 3 高维函数优化结果对比 Table 3 Comparison of high dimensional function optimization results 函数 维数 方法 最佳值 最差值 平均值 标准差 AFSA 1. 3713 779. 5365 169. 9517 214. 5429 IAFSAa 1. 0381 × 10 － 9 4. 4401 × 10 － 6 4. 6810 × 10 － 7 1. 1229 × 10 － 6 10 PSO 5. 4564 × 10 － 28 6. 5316 × 10 － 14 1. 3417 × 10 － 15 9. 2349 × 10 － 15 GA 1. 0114 × 10 － 3 17. 8413 8. 1762 × 10 － 1 2. 7023 Squmsquares IAFSA 5. 9888 × 10 － 57 1. 0348 × 10 － 41 1. 1867 × 10 － 42 2. 1531 × 10 － 42 AFSA 1. 0067 × 104 3. 1160 × 104 2. 4219 × 104 3. 9354 × 103 IAFSAa 3. 2940 × 10 － 5 8. 4794 × 10 － 5 5. 6721 × 10 － 5 9. 9086 × 10 － 6 20 PSO 8. 7652 × 104 1. 5852 × 106 5. 4685 × 105 3. 3500 × 105 GA 2. 7901 803. 4326 125. 1207 199. 2067 IAFSA 1. 2689 × 10 － 17 1. 2304 × 10 － 4 1. 6685 × 10 － 5 2. 6689 × 10 － 5 AFSA 21. 2983 41. 0617 32. 8618 4. 5161 IAFSAa 5. 9701 17. 9095 10. 7261 2. 9149 10 PSO 12. 9345 349. 2173 125. 9594 73. 0887 GA 8. 0130 × 10 － 4 7. 0021 2. 1151 1. 6983 Ｒastrigin IAFSA 0. 9950 10. 9445 3. 7311 1. 9525 AFSA 102. 0457 133. 2552 120. 2448 8. 1998 IAFSAa 22. 8871 64. 6735 43. 3623 7. 3832 20 PSO 348. 6820 1225. 4552 674. 0951 197. 1180 GA 4. 5570 24. 4199 13. 6161 4. 7945 IAFSA 1. 9899 10. 9445 6. 6861 2. 1653 表 4 辨识传递函数 Table 4 Identification of the transfer function 传递函数 表达式 模型表达式 G1 ( s) 3 5s + 1e － 6s k a0 s + 1e － τs G2 ( s) 2 3. 5s 2 + 1. 2s + 1e － 2. 5s k b0 s 2 + b1 s + 1e － τs 式中，erri为辨识输出值和理论输出值的差，n 为辨识 点的个数． 2. 1 一阶时滞系统辨识 ( 1) 一阶时滞系统辨识． 在表 4 中的一阶时滞系统 G1 ( s) 共有三个参数需 要辨识，所以本文设定人工鱼为 Xi = ( a0，k，τ) ． 测试 时首先获取 G1 ( s) 传递函数的单位阶跃响应结果作为 原始辨识数据( 时长为 60 s，间隔为 1 s) ［13--14］，然后采 用改进鱼群算法对原始数据进行系统辨识． 本文对一 阶时滞系统 G1 ( s) 进行 5 次辨识，其结果如表 5 所示． 从表 5 中可看出，改进人工鱼群算法在模式辨识 中具有很高的辨识精度，可直接用于时滞系统的辨识． 图 1 中给出了一阶系统单位阶跃响应下理论响应曲线 和辨识模型的响应曲线对比结果，从图中看出辨识结 果精度很高． 图 2 中给出了系统辨识误差随迭代次数 表 5 一阶时滞系统辨识结果 Table 5 Identification results of the first order time-delay systems 辨识次数 a0 k τ 结束目标函数 值/10 － 7 1 3. 0001 4. 9994 6. 0002 3. 7014 2 3. 0001 4. 9988 6. 0007 7. 1110 3 3. 0000 4. 9997 6. 0010 5. 9011 4 2. 9999 5. 0009 5. 9990 8. 6423 5 3. 0000 5. 0007 5. 9999 1. 5363 图 1 一阶时滞系统单位阶跃响应曲线 Fig． 1 Unit step response curve of the first order delay system · 226 ·
曹法如等：改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 ·623 3.0 3.5 3.0 25 20 1.5 1.5 1.0 1.0 -理论曲线 m原始曲线 0.5 辨识曲线 10 15202530 0 51015202530354045505560 迭代次数 时间/ 图2一阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 图3带白噪声的一阶时滞系统单位阶跃响应曲线 Fig.2 Iterative error curve of unit step response of the first order de- Fig.3 Unit step response curve of the first order delay system with lay system white noise 的变化关系，从图中可看出本文提出的改进算法在时 滞系统辨识时具有收敛速度快和辨识精度高等优点. 3.0 (2)一阶时滞系统中叠加白噪声辨识. 2.5 在一阶时滞系统G,(s)中叠加均值为0，标准差为 0.1的白噪声.系统辨识时使用的参数与辨识一阶时 20 滞系统时使用的参数相同，多次系统辨识结果如表6 15 所示. 10 表6一阶时滞系统添加白噪声辨识结果 0.5 Table 6 Identification results of white noise for the first order time-delay "0102030405060708090100 systems 迭代次数 辨识次数 T 结束目标函数值 图4带白噪声的一阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 1 2.9900 4.9006 5.9022 0.5791 Fig.4 Iterative error curve of unit step response of the first order de- 2 2.9731 4.5426 5.9780 0.5159 lay system with white noise 3 3.0014 4.9136 6.1291 0.5938 表7二阶时滞系统辨识结果 4 2.9970 4.7289 6.0929 0.5838 Table 7 Identification results of the two order time-delay systems 2.9936 4.7039 6.1458 0.5850 结束目标 辨识次数 b 函数值10？ 对比表5和表6发现，在一阶时滞系统中叠加白 1 2.00013.50131.20042.4993 7.1917 噪声后寻优精度有所下降，这归结于输出数据受到白 2 2.00003.4991 1.19972.5004 3.5348 噪声的干扰，导致理论模型与实际模型出现偏差，但从 3 2.00003.50051.20012.4990 9.0177 图3中可知，改进算法具有较高的抗干扰能力，且辨识 2.00003.49981.20062.4998 9.8710 精度较高.在有干扰时，约经过15次迭代辨识结果达 5 2.00003.50061.19982.5001 5.2533 到稳定，如图4所示. 2.2二阶时滞系统辨识 系统辨识.图5中给出理论响应曲线和辨识模型的响 (1)二阶时滞系统辨识. 应曲线对比结果，从图中可看出辨识精度很高。图6 在表4中，二阶时滞系统G,(s)共有四个参数需 中给出了二阶时滞系统辨识误差随迭代次数的变化关 要辨识，所以本文设定人工鱼为X,=(b。,b,k,).测 系，从图中可看出本文提出的改进算法在二阶时滞系 试时首先获取G,(s)传递函数的单位阶跃响应结果作 统辨识时具有收敛速度较快和辨识精度较高的特点 为原始辨识数据（时长为60s,间隔为1s)B4.然后 (2)二阶时滞系统中叠加白噪声辨识. 采用改进鱼群算法对原始数据进行系统辨识.本文对 在二阶时滞系统G2(s)中叠加均值为0，标准差为 阶时滞系统G,(s)进行5次辨识，其结果如表7所示. 0.12的白噪声，系统辨识时使用的优化参数与辨识二 从表7中可看出，改进人工鱼群算法在模式辨识 阶时滞系统时使用的参数相同，系统辨识结果如表8 中的精度同样很高，所以该算法可直接用于二阶时滞 所示
曹法如等: 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 图 2 一阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 Fig． 2 Iterative error curve of unit step response of the first order delay system 的变化关系，从图中可看出本文提出的改进算法在时 滞系统辨识时具有收敛速度快和辨识精度高等优点． ( 2) 一阶时滞系统中叠加白噪声辨识． 在一阶时滞系统 G1 ( s) 中叠加均值为 0，标准差为 0. 1 的白噪声． 系统辨识时使用的参数与辨识一阶时 滞系统时使用的参数相同，多次系统辨识结果如表 6 所示． 表 6 一阶时滞系统添加白噪声辨识结果 Table 6 Identification results of white noise for the first order time-delay systems 辨识次数 a0 k τ 结束目标函数值 1 2. 9900 4. 9006 5. 9022 0. 5791 2 2. 9731 4. 5426 5. 9780 0. 5159 3 3. 0014 4. 9136 6. 1291 0. 5938 4 2. 9970 4. 7289 6. 0929 0. 5838 5 2. 9936 4. 7039 6. 1458 0. 5850 对比表 5 和表 6 发现，在一阶时滞系统中叠加白 噪声后寻优精度有所下降，这归结于输出数据受到白 噪声的干扰，导致理论模型与实际模型出现偏差，但从 图 3 中可知，改进算法具有较高的抗干扰能力，且辨识 精度较高． 在有干扰时，约经过 15 次迭代辨识结果达 到稳定，如图 4 所示． 2. 2 二阶时滞系统辨识 ( 1) 二阶时滞系统辨识． 在表 4 中，二阶时滞系统 G2 ( s) 共有四个参数需 要辨识，所以本文设定人工鱼为 Xi = ( b0，b1，k，τ) ． 测 试时首先获取 G2 ( s) 传递函数的单位阶跃响应结果作 为原始辨识数据( 时长为 60 s，间隔为 1 s) ［13--14］． 然后 采用改进鱼群算法对原始数据进行系统辨识． 本文对 一阶时滞系统 G2 ( s) 进行5 次辨识，其结果如表7 所示． 从表 7 中可看出，改进人工鱼群算法在模式辨识 中的精度同样很高，所以该算法可直接用于二阶时滞 图 3 带白噪声的一阶时滞系统单位阶跃响应曲线 Fig． 3 Unit step response curve of the first order delay system with white noise 图 4 带白噪声的一阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 Fig． 4 Iterative error curve of unit step response of the first order delay system with white noise 表 7 二阶时滞系统辨识结果 Table 7 Identification results of the two order time-delay systems 辨识次数 b0 b1 k τ 结束目标 函数值/10 － 7 1 2. 0001 3. 5013 1. 2004 2. 4993 7. 1917 2 2. 0000 3. 4991 1. 1997 2. 5004 3. 5348 3 2. 0000 3. 5005 1. 2001 2. 4990 9. 0177 4 2. 0000 3. 4998 1. 2006 2. 4998 9. 8710 5 2. 0000 3. 5006 1. 1998 2. 5001 5. 2533 系统辨识． 图 5 中给出理论响应曲线和辨识模型的响 应曲线对比结果，从图中可看出辨识精度很高． 图 6 中给出了二阶时滞系统辨识误差随迭代次数的变化关 系，从图中可看出本文提出的改进算法在二阶时滞系 统辨识时具有收敛速度较快和辨识精度较高的特点． ( 2) 二阶时滞系统中叠加白噪声辨识． 在二阶时滞系统 G2 ( s) 中叠加均值为 0，标准差为 0. 12 的白噪声，系统辨识时使用的优化参数与辨识二 阶时滞系统时使用的参数相同，系统辨识结果如表 8 所示． · 326 ·
·624 工程科学学报，第39卷，第4期 3.0 3.0 2.5 2.0 2.0 5 0 1.0 *辨识曲线 量辨识曲线 理论曲线 理论曲线 05 一原始曲线 1015202530354045505560 1015202530354045505560 时间/s 时间/s 图5二阶时滞系统单位阶跃响应曲线 图7带白噪声的二阶时滞系统单位阶跃响应曲线 Fig.5 Unit step response curve of the two order delay system Fig.7 Unit step response curve of the two order delay system with white noise 20 16 赵 12 8 10 20 30 4050 迭代次数 01020 30405060708090100 图6二阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 迭代次数 Fig.6 Iterative error curve of unit step response of the two order de- 图8带白噪声的二阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 lay system Fig.8 Iterative error curve of unit step response of the two order de- lay system with white noise 表8二阶时滞系统添加白噪声辨识结果 Table 8 Identification results of white noise for the two order time-delay 最优人工鱼移动一步.文中使用改进鱼群算法、粒子 systems 群算法和遗传算法对标准测试函数进行寻优测试，结 辨识次数 bo k T 结束目标函数值 果表明本文算法在计算速度和寻优精度方面更具优 1 2.00123.57721.1688 2.6208 0.8260 势.本文将改进型鱼群算法应用到时滞系统的辨识 2 2.00413.35281.18112.6584 0.8452 中，测试结果表明可在时滞系统辨识问题中使用改进 3 2.00183.39751.09532.6887 0.8246 鱼群算法.此外，在时滞系统叠加白噪声进行辨识测 4 1.99493.41261.11512.6280 0.8456 试，结果表明该算法仍然具有较高的辨识精度和抗干 1.99654.06921.36882.1826 0.8023 扰能力，可为工业生产过程中的时滞系统辨识问题提 供新思路和方向 对比表7和表8发现，在叠加白噪声后的寻优精 度有所下降，主要原因与一阶时滞系统加入白噪声原 因相同.但从图7中可以看出辨识结果依然具有较高 参考文献 的精度.从图8中可知，在有干扰时，约经过20次迭 [Li X L,Shao Z J,Qian J X.An optimizing method based on au- 代辨识结果达到稳定 tonomous animats:fish-swam-algorithm.Syst Eng Theory Pract, 2002,22(11):32 3结论 (李晓磊，邵之江，钱积新.一种基于动物自治体的寻优模式： 本文提出了一种改进人工鱼群算法(IAFSA),该 鱼群算法.系统工程理论与实践，2002,22(11)：32) Liao C X,Zhang P,Li X S,et al.Optimal deployment in sensor 算法中人工鱼能根据当前所处状态动态调整视野和步 networks based on hybrid artificial fish school algorithm.I Beijing 长来平衡局部搜索和全局搜索.此外，算法中还加入 Unig Aeronaut Astronaut,2010,36(3):373 引导行为，即在觅食行为未发现更优位置时，人工鱼向 (鉴灿星，张平，李行善，等.基于混合人工鱼群算法的传感器
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 图 5 二阶时滞系统单位阶跃响应曲线 Fig． 5 Unit step response curve of the two order delay system 图 6 二阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 Fig． 6 Iterative error curve of unit step response of the two order delay system 表 8 二阶时滞系统添加白噪声辨识结果 Table 8 Identification results of white noise for the two order time-delay systems 辨识次数 b0 b1 k τ 结束目标函数值 1 2. 0012 3. 5772 1. 1688 2. 6208 0. 8260 2 2. 0041 3. 3528 1. 1811 2. 6584 0. 8452 3 2. 0018 3. 3975 1. 0953 2. 6887 0. 8246 4 1. 9949 3. 4126 1. 1151 2. 6280 0. 8456 5 1. 9965 4. 0692 1. 3688 2. 1826 0. 8023 对比表 7 和表 8 发现，在叠加白噪声后的寻优精 度有所下降，主要原因与一阶时滞系统加入白噪声原 因相同． 但从图 7 中可以看出辨识结果依然具有较高 的精度． 从图 8 中可知，在有干扰时，约经过 20 次迭 代辨识结果达到稳定． 3 结论 本文提出了一种改进人工鱼群算法( IAFSA) ，该 算法中人工鱼能根据当前所处状态动态调整视野和步 长来平衡局部搜索和全局搜索． 此外，算法中还加入 引导行为，即在觅食行为未发现更优位置时，人工鱼向 图 7 带白噪声的二阶时滞系统单位阶跃响应曲线 Fig． 7 Unit step response curve of the two order delay system with white noise 图 8 带白噪声的二阶时滞系统单位阶跃响应迭代误差曲线 Fig． 8 Iterative error curve of unit step response of the two order delay system with white noise 最优人工鱼移动一步． 文中使用改进鱼群算法、粒子 群算法和遗传算法对标准测试函数进行寻优测试，结 果表明本文算法在计算速度和寻优精度方面更具优 势． 本文将改进型鱼群算法应用到时滞系统的辨识 中，测试结果表明可在时滞系统辨识问题中使用改进 鱼群算法． 此外，在时滞系统叠加白噪声进行辨识测 试，结果表明该算法仍然具有较高的辨识精度和抗干 扰能力，可为工业生产过程中的时滞系统辨识问题提 供新思路和方向． 参 考 文 献 ［1］ Li X L，Shao Z J，Qian J X． An optimizing method based on autonomous animats: fish-swam-algorithm． Syst Eng Theory Pract， 2002，22( 11) : 32 ( 李晓磊，邵之江，钱积新． 一种基于动物自治体的寻优模式: 鱼群算法． 系统工程理论与实践，2002，22( 11) : 32) ［2］ Liao C X，Zhang P，Li X S，et al． Optimal deployment in sensor networks based on hybrid artificial fish school algorithm． J Beijing Univ Aeronaut Astronaut，2010，36( 3) : 373 ( 廖灿星，张平，李行善，等． 基于混合人工鱼群算法的传感器 · 426 ·
曹法如等：改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 ·625· 网络优化.北京航空航天大学学报，2010,36(3)：373) 程模型辨识中的应用.中国电机工程学报，2007,27(5)： B]Chen X Q,Liu J M,Huang Y W,et al.Transformer fault diagno- 87) sis using improved artificial fish swarm with rough set algorithm. [8]Luitel B.Venayagamoorthy GK.Particle swarm optimization with High Voltage Eng,2012,38(6):1403 quantum infusion for system identification.Eng Appl Artif Intell, (陈小青，刘觉民，黄英伟，等.采用改进人工鱼群优化粗糙 2010,23(5):635 集算法的变压器故障诊断.高电压技术，2012,38(6)： Huang Y,Han P,Liu C L,et al.An improved quantum particle 1403) swarm optimization and its application in system identification. 4]Yang S X,Han Q,Xu L Q,et al.Comprehensive effect evalua- Proc CSEE,2011,31(20):114 tion of energy saving and emission reduction based on fish-swarm (黄宇，韩璞，刘长良，等.改进量子粒子群算法及其在系统辨 algorithm optimizing neural network.J Cent South Univ Sci Techn- 识中的应用.中国电机工程学报，2011,31(20)：114) od,2012,43(4):1538 [10]Nelles 0.Nonlinear System Identification:from Classical Approa- (杨淑霞，韩奇，徐琳茜，等.鱼群算法与神经网络结合的节能 ches to Neural Networks and Fuzy Models.Dordrecht:Springer 减排效果评价.中南大学学报（自然科学版），2012,43(4)： Science Business Media,2013 1538) [11]Peng PZ,Yu Y,Wang Z J,et al.Improved global artificial fish [5]Meng Q B.Yi Y X,Qiao G L.PID controller parameters identifi- swarm algorithm based on simplex method.Comput Technol Der, cation based on the fastest model of inertial feature systems.J 2015,25(8):75 Univ Sci Technol Beijing,2010,32(10):1366 (彭培真，俞毅，王兆嘉，等.基于单纯形的改进全局人工鱼 (孟庆波，尹怡欣，乔桂玲.惯性特征系统最速特征模型PD 群优化算法.计算机技术与发展，2015,25(8)：75) 控制参数辨识.北京科技大学学报，2010,32(10)：1366) [12]Wang L G,Hong Y,Zhao F Q,et al.Improved artificial fish [6]Liu C L,Yu X N.Yao W Y,et al.Model identification of power swarm algorithm.Comput Eng,2009,34(19):192 plant thermal process based on genetic algorithm.Proc CSEE, (王联国，洪毅，赵付青，等.一种改进的人工鱼群算法.计 2003,23(3):170 算机工程，2008,34(19)：192) (刘长良，于希宁，姚万业，等.基于遗传算法的火电厂热工过 [13]Wang QG,Zhang Y.Robust identification of continuous systems 程模型辨识.中国电机工程学报，2003,23(3)：170) with dead-time from step responses.Automatica,2001,37(3): Jiao S M,Han P,Huang Y,et al.Fuzzy quantum genetic algo- 377 rithm and its application research in thermal process identification. [14]Liu T,Gao F R.A frequency domain step response identification Proc CSEE,2007,27(5):87 method for continuous-time processes with time delay.J Proces (焦嵩鸣，韩璞，黄宇，等。模糊量子遗传算法及其在热工过 Control,2010,20(7）:800
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