用弹塑性有限元素法解平压头下的压入问题

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1982.01.015 北京铜铁学晓学报 1982年第1期 用弹塑性有限元素法 解平压头下的压人问题 力学教研室乔端钱仁根 捕 要 本文采用弹塑性有限元素法中的变刚度法和加权平均弹塑性矩阵，解光滑压头 下平面应变的弹塑性硬化材料的压入问题。得到压力一一位移曲线，屈服压力和塑 性区的边界，并与理想刚塑性的滑移线场理论结果相比较。同时计算了在平面应变 条件下，工业纯铝压缩时的冷变形抗力。计算结果与试验结果基本相符。 一、引 论 平面应变条件下的理想刚塑性材料，在光滑平压头下的压入问题，可用滑移线场理论求 解。被压材料的厚度(2h)和压头宽(2a)之比>1时（图1）其解由R.Hi11得到〔1〕， 当h/a<1的情况，由A.P.Green解 压头 得〔2)。但平面应变条件下，硬化材 料在光滑平压头下的压入问题，由于 其弹塑性交界面比较复杂，用弹塑性 理论求其解析解是相当困难的。但运 用弹塑性有限元素法可求得数值解。 本文中利用弹塑性有限元素法中 2a- 的变刚度法，解平面应变条件下的弹 塑性硬化材料，在光滑平压头下的压 图1示意图 入问题。得到压头的压下位移和作用于压头上总压力之间的关系、屈服压力以及塑性区随压 头位移的增加而变化的情况。并与相应的滑移线场理论的结果相比较。 利用压入问题的结果，可计算金属材料平面应变条件下的冷变形抗力。只奖在压入问题计 算中，令h/a=1,此时的平均屈服压力为冷变形抗力〔3)。冷变形抗力在金属冷加上成形 中是一个很重要的工艺参数。一般是用拉伸试验或“平面压缩”试验测定，或把拉伸屈服应 力乘上1.155为平面应变条件下的变形抗力。但由于材料的加工硬化和正交异性等因素，所 以把屈服应力的1.155倍作为平面应变时的变形抗力，显然不是完全正确的。另一方而，常 *本文1980年12月27日收到。 170

北 京 栩 铁 学 映 学 报 年 第 期 用弹塑性有限元素法 解平压头下的压人 问题 力 学教研 室 弄 端 钱仁 根 摘 要 本 文采 用 弹 塑性有 限元素法 中的 变刚度法 和 加 权平 均弹 塑性矩 阵 ， 解光滑压 头 下 平 面 应 变的弹 塑性 硬 化 材 料 的压 入 问题 。 得 到压 力— 位移 曲线 ， 屈服 压 力和 塑 性 区 的边 界 ， 并 与理 想 刚 塑性 的滑 移线场 理 论 结果相 比较 。 同时计 算 了在平 面 应 变 条件 下 ， 工 业 纯铝 压 缩 时的冷 变形 抗力 。 计 算结果 与试 验 结 果基本相 符 。 一 、 引 论 平面应 变条件下 的理 想 刚塑性材料 ， 在光 滑平压 头下 的压 入 问题 ， 可 用 滑移线场 理论求 解 。 被压材料 的厚 度 和 压 头宽 之 比》 时 图 其解 由 得到 〔 〕 ， 当 的情 况 ， 由 解 得 。 但 平 面应 变条 件下 ， 硬 化材 料 在 光 滑平压 头下 的压 入 问题 ， 由于 其弹 塑性交 界面 比 较复杂 ， 用弹 塑性 理 论求 其解析解是相 当困难 的 。 但运 用 弹 塑 性有 限 元 素 法可 求得数值解 。 本 文 中利 用弹 塑性 有 限元素法 中 的 变刚度法 ， 解 平面 应 变条件下 的弹 塑 性硬 化材料 ， 在 光滑 平压 头下 的压 压头 阮 ， 声， 各 厂 ‘ 一 ，气令习 图 示 意 图 入 问题 。 得 到压 头 的压 下位 移 和作用 于压 头 上总压 力之 间 的关 系 、 屈 服 压 力 以 及 塑性区 随压 头位 移 的 增加而 变化 的情 况 。 并 与相 应 的 滑移线场 理 论 的 结果 相 比较 。 利 用压 入 问题 的 结果 ， 一 可 计算 金属材料平 面应 变条 件下 的冷 变形 抗 力 。 只要 在压入 问题 计 算 中 ， 令 ， 此 时 的 平均屈 服 压 力即 为冷 变形 抗力 〔 。 冷 变形 抗力 在金属 冷加 工 成 形 中是一 个很 重要 的工 艺参数 。 一 般是用拉 伸试验 或 “ 平 面压缩 ” 试验 测定 ， 或把拉伸屈 服 应 力乘 上 ， 为平面应 变条件下 的 变形 抗力 。 但 由于材料的加 工 硬 化和 正 交 异性 等 因素 ， 所 以 把屈 服 应 力的 倍作为平面应 变时 的 变形 抗力 ， 显然 不 是 完 全正确 的 。 另一方 面 ， 常 本文 年 月 日 收到 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1982．01．015

用的拉伸试验和“平面压缩”试验，都有一些难于克服的困难。如“平面压缩”试验， 不能完全克服介于压头与试样间的摩擦，而且由于被压材料的厚度在变化，所以难于做到 h/a=1。而这些在有限元素法的计算中是很容易做到的。 本文计算了平面应变条件下，不同积累压下率工业纯铝的冷变形抗力，而且分有外区 (材料长度比压头宽度大许多)和无外区（材料长度等于压头宽度）二种情况进行计算。计 算结果与试验结果基本符合。 二、基本原理 由于压入问题的对称性，所以只取被压材料的1/4研究。取x,y,z轴，z为被压材料的 宽度方向。因为其宽度较大，可以认为是平面应变问题，计算单位宽度。 利用三角形元素把材料离散化。对每个元素，设其节点的位移列阵为{ò}°，其增量为 △{ò}°，节点载荷列阵为{F}·,其增量为△{F}°，应力列阵为{σ}，其增量为△{o},应变 列阵为{ε}，其增量为△{}，联系节点位移与应变的矩阵为〔B),对于处于坪性状态的元 素，其弹性矩阵为〔D。),元素刚度矩阵为〔k。),对于处于屈服状态的元素，其弹塑性矩 阵为(D。p),元素刚度矩阵为〔ke)。由变刚度法可知： 〔k。)=〔B)T〔D。)〔B)t·A (1,(a)) 〔k。p)=〔B)T(D。p)(B)·t·A (1,(b)) 其中：t为元素的厚度，在平面应变时取t=1,A为元素的面积。 对于弹性元素， (k。)△{8}°=△{F}°， (2,(a)) 对于塑性元素， 〔kep)△{8}°=△{F} (2,(b)) 现在的〔B)和〔D。)与弹性有限元素法中的完全相同。平面应变条件下的〔D。。)可由空间 应力状态的〔De)〔4〕刘去与△z,△Txz,△TYz相应的行和列，得到〔5) 1-v 对称 1-2v (D。p)= (3) 其中：σx',oy'为应力偏量，v为泊松比，G为剪切弹性模量， s=号(1+)， (4) 等效应力 (5) H'为硬化曲线上一点的斜率，可由材料的应力一一应变曲线求得〔6)。 171

用 的拉 伸 试 验 和 “ 平面压缩” 试验 ， 都有一 些难于 克 服 的 困难 。 如 “ 平面压缩 ” 试 验 ， 不 能完 全克服 介于压头 与试样间 的摩擦 ， 而且 由 于被压 材料的厚 度在变化 ， 所 以 难于做到 。 而这 些 在有 限元 素法 的计算 中是 很 容易做 到的 。 本文计算 了平面应 变条件下 ， 不 同积 累 压 下 率 工 业 纯 铝 的冷变形 抗 力 ， 而且 分 有外 区 材料 长度比压头宽度大许多 和无 外 区 材料 长度等于压头宽度 二 种，’ 况进 行计算 。 计 算结果 与试验 结果 基本符合 。 二 、 器 本原理 由于压入 问题 的对 称性 ， 所 以 只 取 被压 材料的 研究 。 取 ， ， 轴 ， 为被压材料的 宽度方 向 。 因为其宽度较大 ， 可 以认 为是 平面应 变问题 ， 计 算单位宽度 。 利用 三 角形元 素 把材料 离散化 。 对每个元 素 ， 设其节 点 的 位 移列 阵为 乙卜 ， 其 增 量为 △笼 节点 载荷列 阵为 ， 其增 量为 △王 应 力 列 阵为 ， 其增 量 为△ 应 变 列 阵为 。 ， 其增 量为△ 。 联 系节点 位 移 与应 变 的矩 阵为 〔 〕 ， 对 于 处于 弹性状 态 的元 素 ， 其 弹性 矩 阵为 〔 。 〕 ， 元 素 刚度矩 阵为 〔 〕 ， 对于 处于屈 服 状 态 的 元 素 ， 其弹 塑 性矩 阵为 〔 。 〕 ， 元 素 刚度矩 阵为 。 〕 。 由变 刚度法可 知 。 〕 〔 〕 〔 。 〕 〔 〕 一 一 ， 〔 。 〕 〔 〕 。 〕 〔 〕 一 ， 其 中 为元 素 的厚 度 ， 在平面应 变时取 ， 为元 素 的 面积 。 对于 弹性元 素 ， 〔 〕△魂各 △ ， ， 对于 塑性元 素 ， 〔 ， 〕△ 乙 △ ， 现 在 的 〔 〕和 〔 。 〕与弹性有 限元 素 法 中的完 全相 同 。 平 面应 变条件下 的 〔 。 。 〕可 由 空 间 应 力状 态 的 〔 。 〕 〔 〕划去与△ ， △ ， △ 丫 丫 相应 的 行 和 列 ， 得 到 〔 〕 一 一 对称 一 ， ， ， ， 一、 一 川 一 一 一 ， ， “ 一 一 二 一 一 旦兰三兰竺一 、 一 丫竺 里卫 一 一 一 三兰竺 、 艺 一了、 产 、少 一 … 其中 厂 ， ’ 为应 力偏 量 ， 为泊松 比 ， 为剪切 弹 性模 量 ， 笋 · 斋 等效应 力 万 〔 多 一 ， ， ， 、 ， 〕 ‘ 为硬 化 曲线 上一点 的斜 率 ， 可 由材料 的应 力— 应 变 曲线求得 〔 〕

显然，〔k:)与应力有关。在运算时，可用经第i一1次运算后得到的应力组成(ke), 进行第i次运算，余此类推。 若把每个元素的刚度矩阵集合成结构刚度矩阵〔K),则最终的基本方是为： {K}△{6}=△{F} (6) 其中：△{6}，△{F}为整个结构的节点位移增量和节点截荷增量。利用边界条件，解方 (6)得△{8}和△{F}中的术知量。由 〔B)△{δ}°=△{e} (7) 和对弹性元素， 〔De)△{e}=A{o}, (8,(a)) 对塑性元素， (Dep)△{}=△{o}, (8,()) 可解得每个元素的应变增量和应力增量。若设第i次运算得到的应力增量为△{σ}，i一1次 运算后得到的应力为{o}:-1,i次运算后的应力为{o},则， {o},={o}-1+△{o}:o (9) 塑性区旁边的元素，在加载过程中（不是在加载后）有可能进入屈服，这一类尤素称为 过渡元素。对于它们用(D。)和〔De)进行计算均不妥，会带来不小的误差。因此，我们采用 加权平均弹塑性矩阵 〔D。p)=m〔De)-(1-m)(Dep)i (10) 其中：m为加权系数，它是过渡元素为达到屈服所需要的等效应交：量这次加载所引的 等效应变增量的比值，显然0<m<1。计算时，迭代~3次即可得到比较止：的位。若元 素不属于过渡元素，则处于弹性变形状态时，可取m=1,若处于亚性次，态时则取m=0。这 样，(1，(a)),(i,(b),(2,(a),(2,(b),(3,(a),(3,(b)均可分别合与j为 (k)=〔B)T(De。)〔B)·A (11) (E)△{8}°=△{F?° (12) (D。)△{e}=△{o} (13) 三、计算程序 计算？序的摇图如图2。下面按框图的次序逐一说明如下： 1.输入数据。输入压头宽度，被压材料的长度、厚度，长度方向和厚度方向划分元素 所分的段数，压头下划分元素的段数，被压材料的力学性质，如应力一应变曲线等。 2.自动划分元素及节点编号，计算节点座标。元素按图3所示的形式刻分，元素中节 点是节点序号中的最小者，按逆时针转向排列i,j,m。 3.给定压头每次压下的位移。由下面的计算结果可知，压下位移不同，其结果也不同。 若每次压下位移较大，则同时屈服的元素较多，这样计算结果误差较大。为了得到较好的结 果，要求每次压下位移越小越好，但这样势必会延长计算时间。我们在计算时一般采用次 位移增量为1×10~‘毫米或1×10-5毫米。 4,计算元素刚度矩阵并集合成结构刚度矩阵。计算时利用加权平均弹塑性矩阵，并当 元素处于弹性时，取m=1,处于塑性时m=0,若为过渡元素，则取计算所得的m值。 5.边界条件。对于上部边界中，压头下的节点，其垂直位移等于每次压下的位移值， 172

显然 ， 〔 。 ， 〕与应 力 有关 。 在 运算时 ， 可用经 第 一 次运算后得到的应 力组成〔 。 ， 〕 ， 进 行第 次运算 ， 余此 类推 。 若 把每个元 素 的刚度矩 阵 集合成 结 构刚度矩 阵 〔 〕 ， 则最 终的基 本方 刃 为 △ 乙 △ 其 中 △ ， △ 为整个 结 构 的 节 点 位移 增 量 和 节点 截 荷增 量 。 利 用 边 界 条件 ， 解方 门 得 △ 和 △福 中的 未知 量 。 由 〔 〕△蓬各 △ 。 和对弹性元 素 ， 〔 。 〕△王。 么 ， ， 对 塑 比元 素 ， 〔 〕△ 。 △ ， ， 飞 可解得每 个元 素的应 变 增 量和应 力增 量 。 若 设 第 次 运 算得 到 的应 力增 量 为△ ， ， 一 次 运算后得到 的应 力为 卜一 ， 次运算后 的应 力为 ‘ ， 则 ， 灌 ‘ ‘ ， △ ‘ 。 塑性 区旁 边 的元 素 ， 在加 载过 涅中 不 是 在加 载后 有可 能进 入屈 服 ， 这 一 类元 素称 为 过渡元 素 。 对 于 它们用 〔 。 〕和 〔 。 ， 〕进 行计算 均不妥 ， 会带来不 小的 误差 。 因 此 ， 我 ’ 采用 加 权平均弹塑 性矩 阵 〔 〕 〔 〕 一 一 〔 〕 、 。 其 中 为加 权 系数 ， 它是 过渡 元 素为达 到屈 服所 需要 的等效应 变加 童 这 次加 载所 引起 的 等效应 变增 量 的 比 位 ， 显然 。 丈 。 计 算 时 ， 迭代 。 一 次即 可得 列 比 校止 你 ， ’ 他 。 若 元 素不 属 于过渡 元 素 ， 则 处于 弹性 变形 状 态 时 ， 可取 ， 若 处 于 些 性 伏 态时 则 取 二 。 这 样 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 咬。 均 可分别 合与 少 骊卜 〔 〕 。 〕 〔 〕 · ‘ · 〔石〕△ 二 △ 少 ” 〔石 〕△ 。 △ 三 、 计 算程序 计算 陛序 的 框 图如图 。 下 面按 框图 的次 序逐一 说 明如 下 输入 数据 。 输入 压 头宽度 ， 被 压材料 的 长度 、 厚 度 ， 长 度方 向和厚 度方向划 分元 素 所 分 的段数 ， 压头下 划分元 素 的 段数 ， 被压 材料的力学性质 ， 如应 力— 应 变 曲线等 。 自动 划分元 素及节点 编 号 ， 计算节点座标 。 元 素按 图 所 示 的形 式 划分 ， 元 素 中 节 点是节点序 号中的最小者 ， 按 逆时针转向排列 ， ， 。 给定压头每次压 下 的 位移 。 由下面 的计算结果 可知 ， 压 下位 移不 同 ， 其结果 也不 同 。 若每 次 压下 位 移较 大 ， 则 同时屈 服 的元 素较多 ， 这样计算 结果 误差 较大 。 为 了得 到较好 的 结 果 ， 要求每次压下 位 移越 小越 好 ， 但这样 势必会延 长计算 时间 。 我 们 在计算 时一 般采用 每次 位移增 量为 一 ‘ 毫米 或 丁 毫米 。 计 算元 素 刚度矩 阵并 集合成 结构刚度矩 阵 。 计算 时利 用加 权 平均弹 塑 性 矩 阵 ， 并 当 元 素处于 弹性 时 ， 取 ， 处于 塑性 时 。 ， 若 为过渡元 素 ， 则取 计算所 得 的 位 。 边 界条件 。 对 于 上部边界 中 ， 压头下 的节点 ， 其垂直 位移等于每 次压下 的位 移 值

水平节，点力等丁零（无摩擦）。压头以外的 节点力为零。对于下部边界，因为对称，所以 开始 水平节点力为零，垂直位移为零。右边界为节 数据 点力为零。左边界，因为对称，所以垂直节点 自动划分元素，节点 力为零，水平位移为零。 编号，计算节点座标 6.解方。采用〔K)阵一维紧缩存 给定正头每次压下的位移 储，非用追赶法求解方程。 PP:=1 7.计算应变增量和加权系数。为得到较 好的m值，迭代2次。 YES 8.计算△{σ}，△{F}等。由计算所得的 No △{e},利用(13)，(9)和(5)式得 QQ:=1 A{o},{o},。并利用△{8}、〔K)和(6) 让饰元素刚度矩碎 式得A{F}。则第i次计算所得的总节点力为 {},={}:-1+△{F}:。由节点力就可以求 集合成结构刚度加阵 得压头总的压力，它除以压头面积，即得平均 运用边界条件 压力。 解方程，得△{8 9.输出结果。输出每个元素的m值，用 它来判别元素屈服与否。输出元素的应力，等 i计算A{c}.m 效应力，节点力，压头压力，平均压力和节 Q- No QQ:QQ+ 点位移等。 YES 10.压头每向下压一个位移，必须计算 计算△{o,{o}, 一次，PP丧示计算的次数。听PP=1时，可 可A{F},F) 把整个结构作为弹性体计算，得到每个元素的 E头正力半均团 等效应力g,确定·max,令0max/0,=L, 则把计算所得的值，除以L,即可得到被压材 料进入屈服时的位移，应力，应变节点力等。 No 全屈服> ppi=pp+1 11,片刚性区与边界相连，即达到全屈 YES 服状态时，此时的平均压力即为平面应变的变 停机 形抗力。 图2计算程序框图 四、压入问题计算结果 本文计流了已具方106潮件交形的工业纯铝的E入问题。其屈服极限σ。=6.17i公斤/ 毫米2，啪性模屉E=7201.6公斤/毫米°，泊松比v=0.33。它的应力一应变关系如图8中 曲线I所示。计算长度1=5mm。 取以下几种滑况进行计第。 1) 0=1毫米， h=2毫米， ,'h=1 2。 2) n=1毫米 h=1.5毫米， a/h=2 ● 3 3) a=1毫米 h=1毫米 ,a/h=1。 4) a=1毫米， h=0.5毫米，a/h=2。 173

水 平节点 力件千 零 无 摩擦 。 压 头 以 外 的 竹点 力为零 。 对于 下 部 边 界 ， 因 为对 称 ， 所 以 水 平节点 力 为零 ， 垂 直 位 移 为零 。 右边 界 为节 点 力 与零 。 左 边 界 ， 因 为对 称 ， 所 以 垂 直 方点 力 为零 ， 水 平位 移 为零 。 解方 程 。 采 用 〔 〕矩 阵一 维 紧缩 存 储 ， 并 用 追 赶 法求解方 程 、卜算应 变增 。 和加 权 系数 。 为得 到较 好 的 故 ， 迭 代 次 。 计算 △ ， △ 等 。 由计算所得 的 。 卜 ， 利 用 ， 和 式 得 ， ， 。 并利用 △ 乙 、 〔 〕和 式得 州 卜 。 则 第 次 计 算 所 得 的 总节点 力 为 魂 ， 王 ‘ 一 ， △ ‘ 。 由节点 力 就可 以 求 得 仄 失总 的 力 ， 它除 以 压头 面积 ， 即 得 平均 压 力 。 输 出结果 。 输 出每个元 素 的 值 ， 用 它来 判别元 素屈 服 与 否 。 输 出元 素的应 力 ， 等 效应 力 ， 节点 力 ， 压 头 压 力 ， 平 均 压 力和节 点 位 移 等 。 压 少协 向下 压一 个位 移 ， 必 须 计 算 一 次 ， 友示 计算 的次 数 。 当 二 时 ， 可 把 整 个 结 构作 与弹 性 体 计算 ， 得 到 每个元 素 的 等效应 力 ， 确定 。 、 ， 令 。 、 、 ， 则 把 卜算所得 的 值 ， 除 以 ， 即可得 到被 压 材 料进 入 屈 服 时 的 位 移 ， 应 力 ， 应 变 和 节点 力 等 。 当 塑性 区 与 边 界相 连 ， 即 达 到 全 屈 服 状 态 时 ， 此 时 的 平均压 力即 为平 面应 变 的变 形 抗力 。 自动划分 元 素 ， 节点 编 号 ， 计 算节点座标 计算△ 魔 》 ， 笼 ， 下 八 卜 王 卜 图 计 算程 序框 图 四 、 压 入 问题 计 算结果 术 之计 牛 已 具 汀 丫 塑性 呀形 工 业 纯 铝 的 压 入 问 题 。 其屈 服 极 限 了 公斤 毫 米 “ ， 弹 性 模 鼠 落 公 斤 毫 米 巳 ， 泊 松 比 二 。 。 它 的应 力— 应 变关 系如 图 中 线 所 示 。 计算 长度 。 取 以 下 几 种 洁况 进子 一 八 一 算 。 一一一 ‘ ‘ 川 了 比且 幻幻勺 ‘ 二 毫 米 毫 米 ‘‘ 毫 米 二 毫米 毫米 毫米 ， 毫米 毫米 勺性八月 、、产产、产、声

5) ax1,5毫米， h=0,5毫米，a/h=3。 6) a=2毫米， h=0,5毫米，a/h=4。 其元素划分如图3所示。 (1)当压头每次压下位移为10~毫米时。其位移与塑性区的关系如图4所示。求得全 阳服时的平均压力P与屈服应力的比值。并与理想刚塑性材料时的结果比较列表于下。 表1 a/h = a/h 2 a/h=1 a/h=2 a/h=3 a/h= 弹塑性有限元素法解 1.45 1.35 1.32 129 1.25 1.22 p/as 滑移线场理论解 138 1.236 1.155 1.155 1.155 p/os 由文献〔1)〔2)提年的曲线而得， 2 ,)a-1n,h-1.5mm,,h-2/3。 a)n1um,h?mm,3h-】2 元不数0，节点数1。 元若欢n0,节点收189。 c）1n1mm,=1,△/h=1。 元素数为1c0,罗片款为105. d)a=1mm,h=p.5mm,nh?。元数为320，节点数为20 c)-1.nr,h-.3mm,,h。元故为320，节点数？0， 1 )n=2mm,b-0.5mm,ah-1元末从2w,节点效05。 图3元素划分图 174

二 毫米 ， 毫米 ， 毫米 ， 毫米 ， 其元 素划分如 图 所示 。 当压头每次压下位移为 一 ‘ 毫米时 。 其位移与塑性区的关系如 图 所示 。 求得 全 屈 时 的平均压 力 与屈服 应 力的比值 。 并与理想 刚塑性材料时的结果 比较列 表于下 。 表 一‘︸， 口 一︸了︸‘一 一二 弹塑性有 限元 素法解 。 ， · 二 · 二 ， 滑移线场理论解 自 ‘ 曰 口 用 翻司口 甲以加 曰 州口 口 ，口 ‘ 目 州 州目 ， ‘ 门 铃 由文 献 〔 〕 〔 〕提供约曲线而 得 、 声 ‘ 尸 ， 户 户 产 产 ， ， 魂夕夕价口口口夕曰叼口叼匕团匕匕团匕匕匕四 八 ， 川侧口口口口口口口口口区叼口因团匕匕匕凶 勺 一 月 夕夕口口门口门口口口口叼国叼叼叼叼叼区团 曰网口汤阴口口夕口口口口口口叼叼区匕匕匕 夕口夕口口门口口口口口口侧例叼团口匕匕匕 国冈口口圈口例口口胭口口例例冈团团叼叼团 团团口圈侧团团口口叼夕口曰叉叼团叼叼叼叼 日团团日团团叼团团团叼团叼叼团叼团区叼叼 户 、 、 二 ， 一 ， 五 ” 。 了、 。 了 。 ， 孚一 “ 一 几 ， ， ， ， 矛 生 ，沙夕节 夕 口夕口口区区区匕匕匕匕匕瞬曰 夕口口口曰口口口口口区口斌区忆区匕区以团 一气刁 口夕口口口口口口口口口口泛比忆区叼匕匕团 沉夕沙口伊使泛泛口口口口口区健区匕匕匕匕 叹夕任「任反仅沙汤口口口口口口反区区区区 叼 区区口区 叼叼叼叼口叼区叼叼团团叼 几 少 几 二 川 ， 元 ，赦 一 ，少，乃 ， 飞 ’ 二 之 于亡丰从少七 准 ， ’ ，’ 点故为 ‘了。 叮 ，下 玫 ‘ ，。 因因口口团口口区口口因团口区泛口口区口冈 冈比又口口口口少口口口口口口仁习口夕口口夕 誉口口夕甲之夕区口口 口口口夕口口区口口 叼回夕叼 叼叼回叼团口叼团叼冈团叼冈团 ， 二 ， 五 二 『 ， △ 二 。 夕夕夕夕夕夕口口夕夕夕口夕夕夕夕夕夕夕夕夕夕夕夕夕夕口夕夕夕夕夕夕尸冈夕冈冈夕夕 ， ，」例夕口曰口口口夕口夕口口口夕口口口口夕夕夕口口夕夕夕少夕夕口口夕夕 刁口训曰曰口口 网夕国夕日夕夕习夕夕夕夕口夕夕口口日夕夕口厕回夕口口口夕口口口夕夕叼国夕口口国夕 目口口曰叼口巨叼国国口口曰曰冈曰夕叼叼叼团团曰团团口口曰夕夕口叼团叼口口口口叼曰 ，‘ 了 丫 兮 夕 夕 匕 ， ， ， ， ， 二 匕匕匕匕匕匕团回叼团叼口口口夕夕夕夕夕夕夕口夕夕夕口口口口夕口口口口口口口口夕口 ， 一 曰 四匕团匕匕团囚团团团口口口口口夕夕夕夕夕口圈夕网夕侧夕夕夕夕沙夕夕防沙目台目目目 ， 四叼团团团因叼团冈团口冈冈冈叼网口网网夕夕 冈侧夕网叼 回夕夕夕夕夕夕口口夕圈阴 例冈冈口口口口冈口团口冈冈口夕口冈口口冈叼冈曰网网冈网冈夕夕夕夕夕夕夕曰夕夕夕国 附 · ， ， ， 、 。 认 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 之巨团 叼区口口口口口夕口夕夕夕口 夕曰夕口口夕口口口口门口口口口户户户尸，一 ，门 阵门 ， 减 叼叼叼叼因口团口口口网夕夕夕口口叼侧夕夕例夕口夕侧臼份目目 勺万州卜 二 州‘ 才 酬口夕冈冈口冈冈夕夕叼冈夕夕夕夕冈夕曰夕夕夕洲洲川夕夕 ’ ’ 洲万万一丁刊 仁一门 气尸一 一 侈卞夕叼冈冈冈冈 网冈曰团冈叼曰冈冈网曰目叼冈冈冈日口叼冈叼曰阅阴夕 口二弓阵刁 ， 五一 ， ，。 “ ‘ 一 、 · 元 不从 ， 。 ， 图 元 素划分 图

4--3 位移8.94×10~mm 11.9s×10‘mm 12.91×10‘mm 平均压力5.306kg/mm6.986kg/mm 7.523kg.mm 4-- 4-1-5 --6 位移1.94×104m1 15.9×10-·mm 10.94x10-‘mm 平均压力8.570kg/mm 9.043kg/mm 9.382k已.'mm a)a/h=1'2 4-b-1 4-- 4b-3 位移7.394×10‘血m9.394×10‘mm 10.394×10◆mm 平均压力5.465kg/mm6.848kg/mm 7.513kg/mm 4-h-5 4-b-8 位移11.394×10‘mm 12.391×104mm13.394×104mm Ψ均压力8.149kg/mm18.705kg/mm 8.904kg/mm b)a/h=2/3 图4 175

一 “ 一 一 一〔 一 位 平 匕 移 均压 力 盛火 一 ‘ 。 ， 匕二一 ‘ 匕一 ‘ 一 一 一 位 平 匕 均 移 压力 鑫 刁一 名 ‘ 家 场 火 “ ‘ 爪 扩石 灌 ‘ 口一 匕 ‘ ， ‘ 一 一 一 一 一 一 匕 位 移 。 盛 到一 巾 匕口匕 平均压 力 一 “ 一 ‘ 一 ‘ ‘ 一 一 平 匕 均 侈 压 一 力 ， 一 ‘ ‘ 扩一 刁 扩。 五二 ‘ 爪 ‘ 贝 图

4-c-2 1-c-3 使移5.G71×J0‘mm6,671×104mm 8.G74×10-4mm 平均压力5,870kg/mmG.833kg/mm* 8.524kg/mm 4 c)a/hm1 4-d-1 4-d-2 位珍2.827×19mm 3.827×104mm 平E5.203kg.'mm2 6.95kg/mm2 入4-d-3 4d-4 位移1.827×14mm 5.827×10-4mm 平均压力8.3G2k:/mm* 8,492kg/am° d)&/h=2 -r-1 4-e- 移2.R×1mm 3.83 7约1f力1.99ckv'mm 6.69en时m 图4 176

一 一 ， ， ， ， 尸‘ ， 撬黔人 少仁称 一 月 ， 」又 一 幻 平均压力 艺 乞 义 一 ‘ 遗 二 夕 ” 了之珍 丁义 一 一 ” ， 平均爪 勺 。 ’ ， 之 一 ‘ 二 平均 了 压 ‘达移 力 必 叮 火 一 吕 撇黔 五二 一 ‘ ， 心 竺 弓一 一 于众移 丫 ‘、一 ‘ 平 ，「 、， 几 丫 一 ‘ 丁日 叮 川 图

4e-3 位移4.83×10‘mm 平约压力8.0i2k/mm P =-5 1位移5.83×104/mm G.83×10'mm 平均压力8.133kg/mm 8.072k8/mm e)a/h=3 入4-1 位移2.827×10·mm,平均f力4.890kg/mm' 4-f-2 ELL∠ttieiit∠∠ttt12 位移3.827×104mm,平均压力G.543kg/mm1 4-f-3 位移4.82×10‘mm,平均F力7.921kr/mm f)n/h=4 图4塑性区变化图 (2)当压头每次压下位移为厚度的10倍时。我们计算了a/h=1和号二种情况。 其压力一位移曲线如图5所示，全屈服点为图5曲线I和I中的A点。相应的塑性区变化 如图6。其全屈服时的平均压力p和0，的比值如表2。 产 表2 a/h=2 a/h=1 p/os 132 1.25 177

·， 平均压力只 乏 职 ’ 位移 通一户 一 飞 卜 ， ， 、 ， ， ， ， 仁 平均压力 ‘ 讯 ‘岁 。 卜二 一 一 争 务， ， 平均庄加 。 。 厄 ， 介 月 毛一 一 一位一移盆 卜 自 几为 ‘ ‘ ‘月 位移 日 了‘ 。 ， 乎均压力。 弓盛 。 位移‘ ， ‘ ， 平均压力丁 ‘ 只 “ 王 。 门 、 ， 图 塑 性 区 变化 图 当压头每次压下位移为厚 度 的 一 倍 时 。 我们 计算 了 和 理 一 二 种情 况 。 乃 其压 力— 位 移 曲线如 图 所 示 ， 全屈 服点 为图 曲线 和 中的 点 。 相 应 的 塑性 区变 化 如 图 。 其 全屈 服 时 的 平均压力 和 的 比值如 表 。 仃 — 一山 一 —

⊙ 1(kg/m2) 9.0 1 7.0 0.0 当：/h1,球兴：11,10n 厘/，手上下1.5·10- .-b n 5.0 ,0 11.0( 可：1缓情 0 9.0 1,0(i0-‘nm) 海I炉积 图5压力（p)一位移(v)曲线 178

甲 。 。 。 巨 一 】 ， 日 一 了尸尸尹叱又 一 厂 尸户 尸 二户户 户布 厂 牙 一 」区 ’ 口 门 洲 了 口 才阿 曰 爪 门 门 尸 下 曰 侧 一 ， 丫厂 厂口了 生 卜 了 ， 不 价 一 卜卜 了。 一 如 川 · 亚 ，泣 厂址 匆 ， 处生 ’ 几 一 ‘ 叮 了气， 少 口 、 了 。 。 ， 魂 、 、 曲 了‘ ‘，做袖 ‘ 目 ‘ 一一 上 一 ‘ 一 一 ，二一 一 一 人 一一一一一 曰 。 。 。 图 压 力 — 位移 ， 一 ‘ ，， 曲人 勺找触 曲线 月 落争

位移5.G75×10◆mm G.G75 10mm 7,775×10-4mm 平均压力5.869kg/mm2G.828kg/mm1 7.815kg/mm 6-1-5 6-a-6 d 位移7.975×10-4mm 8.075×10‘mm8.175×10-‘mm 平均E力7.978kg/mm*8,047kg/mm￥ 8.112kg/mm 0-1-7 0-1-9 位移8.375×10-4mm 8,575×10*mm 8.675×10-4mm 平均压力8.172kg/mm1 8,226kg/um 8.252kg/mm2 6-1-10 G-n-12 位移8.875×10-4mm 9.075104mm 9.675×10-4mm 平均压力8.301kg/mm1 8.312kg/mm 8.48kg/mm3 a)a/h=1 图6 从计算结界可不出，若每次下下的位移较大时，则由于每次屈服的元茶较多，所以影响 金团服压力的精度，当压下位移侦减小，则每次屈服的元素也减少，这样计算结果较精确。 另外，弹塑性问题的金屈服压力比理想刚塑性的为高，这是由于弹性区的存在，正头：压下时 不仅塑性区内作功，消耗能量，在弹件区内也作功，也消耗能量。再则，从压力一位移曲 线看，当屈服元素较少时，压力随位移作线性变化。屈服元素增加，压下相同的位移所需的 压力逐渐减小，曲线弯曲。当企服后，压下相同的位移，所需的压力更小。不久，压力一位 移曲线又趋于线性变化。在测定变形抗力的“平面压缩”试验中，全屈服点是利用压力一位 移曲线中金屈服前的直线段与全屈服后曲线延拓的交点衣示的（见图5中曲线I,I的B点）。 179

位 移 一 ‘ 平均压力 ， 丁 、 、 一 ‘ 万孟一 川 。 ， 义 一 忿 一 一 几一 位 平 眨 均 移 压力 一 逆 一 ‘ 宁 一 ‘ ‘ “ 位 平均 移 压力 一 卜 笼 沪火 一 ‘ 爪 琶 一 ‘ 口 瓜 汹 ’ 位移 一 ‘ 平均压 力 一 里 丁 ’ 二 一 ‘ 络 么 ， 图 从 一 计算 结果 可 舌 出 ， 若 舟次压 下 的位 移较大时 ， 则 由于 每次屈 服 的元 素较 多 ， 所 以 影 响 全屈 服压 力 的精度 ， 当压下位 移 值减小 ， 则每次 屈 服 的元 素也减 少 ， 这 样计 算结 果 较精确 。 另外 ， 弹 塑 性 问题 的 全屈 服 压 力比理想 刚塑性 的 为高 ， 这 是 由于 弹性 区 的 存 在 ， 压 头 压下 时 不 仪 塑 性 区 内作功 ， 消 耗 能 量 ， 在弹 性 区 内也 作功 ， 也消耗 能 量 。 再 则 ， 从 压 力— 位 移 曲 线看 ， 当屈 服 元 素较 少时 ， 压 力随位 移 作线性 变 化 。 屈 服元 素 增加 ， 压 下 相 同 的 位移所 需 的 压 力逐 渐减小 ， 曲线弯 曲 。 当全屈 服后 ， 压 下 相 同 的 位 移 ，所 需 的压 力 更小 。 仁久 ， 压 力一 位 移 曲线又 趋 于 线性 变 化 。 在 测定 变形 抗 力’ “ 平而压 缩 ” 试 验 中 ， 全屈 服点 是利 用压 力一 位 移 曲线 中全屈服 前 的直 线 段 与 全屈 服 后 曲线延 拓 的 交点 农示 的 见 图 中 曲线 ， 的 点