三、典型例题解析 倒1设/)在处可导，求回+刊-3翅】 分析所求极限与(x)的定义式子很相似，则由f(x)的定义即可求解。 解回低+飞-3=m+-川-飞-3划 X =imf+f+3m-3-/ -3x =fx)+3f(x)=4f(x) 错误解答令，-3x=1,则x=3x+1, g-9-g+4-@-4p0 (1) =41imf"(%-3x)=4f'(x,). (2) 错解分析式(1)用到f(x)在点1的导数：式(2)用到f(x)在点x。连续.但是题目 只是给出∫x)在，处可导的条件，而f)在x,的邻域内是否可导以及了《(x)在x,处是否连 续都未知.所以上述做法中的式(1)与式(2)有可能不成立. 例2设fx)=p(a+bx)-p(a-bx),其中p(x)在(-o,+o)上有定义且在点a处可导.试 求f"0). 分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求：也可先求导函数，然后求导函数 在该点的函数值，但在本题中函数fx)的可导性未知，故只能用定义来求. 解当60时，四二0=mu+a- iml(a+bx)-p(a)-[a-b)-o(a) blin a+hu)-()bi(a-h)-(a) =bp'(a)+bp'(a)=2bp'(a). 所以f'(0)=2bo(a). 当b=0时，fx)=0,f0)=0 综上所述，∫'(0)=2bo'(a. 例3设函数fx)=(x-a}o(x),其中p(x)的一阶导函数有界.求"(a). 分析求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数：也 可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数∫(x)的可导性 未知，故只能用定义来求 解由于fx)=2x-a)mx)+(x-apx),则有f(a=0.又三、典型例题解析 例 1 设 f x( ) 在 0 x 处可导，求 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − ． 分析 所求极限与 0 f x ( ) 的定义式子很相似，则由 0 f x ( ) 的定义即可求解． 解 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − = 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( 3 )] lim x f x x f x f x f x x → x + − + − − = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( 3 ) ( ) lim 3lim x x 3 f x x f x f x x f x → → x x + − − − + − = 0 0 f x f x   ( ) 3 ( ) + = 0 4 ( ) f x  ． 错误解答 令 0 x x t − = 3 ，则 0 x x t = + 3 ， 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − = 0 ( 4 ) ( ) lim x f t x f t → x + − = 0 4lim ( ) x f t →  （1） = 0 0 4lim ( 3 ) x f x x →  − = 0 4 ( ) f x  ． （2） 错解分析 式（1）用到 f x( ) 在点 t 的导数；式（2）用到 f x ( ) 在点 0 x 连续．但是题目 只是给出 f x( ) 在 0 x 处可导的条件，而 f x( ) 在 0 x 的邻域内是否可导以及 f x ( ) 在 0 x 处是否连 续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立． 例 2 设 f x a bx a bx ( ) ( ) ( ) = + − −   ，其中 ( ) x 在 ( , ) − + 上有定义且在点 a 处可导．试 求 f (0)． 分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数 在该点的函数值，但在本题中函数 f x( ) 的可导性未知，故只能用定义来求． 解 当 b  0 时， 0 ( ) (0) lim x 0 f x f → x − − = 0 ( ) ( ) lim x a bx a bx x   → + − − = 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim x a bx a a bx a x     → + − − − − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x a bx a a bx a b b bx bx     → → + − − − + − = b a b a     ( ) ( ) + = 2 ( ) b a  ． 所以 f (0) = 2 ( ) b a  ． 当 b = 0 时， f x( ) 0 = ， f (0) 0 = ． 综上所述， f (0) = 2 ( ) b a  ． 例 3 设函数 2 f x x a x ( ) ( ) ( ) = −  ，其中 ( ) x 的一阶导函数有界．求 f a ( ) ． 分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也 可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数 f x ( ) 的可导性 未知，故只能用定义来求． 解 由于 2 f x x a x x a x   ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = − + −   ，则有 f a( ) 0 = ．又