faa=24-w-aro国 x-4 -lim[2o(x)+(x-a)p(x)]=2p(a). 所以f"(a)=2p(a). 错误解答因为 f(x)=2(x-a)o(x)+(x-a)c(x) f"(x)=2x)+2(x-a)p(x)+2(x-ap(x+(x-ap(x), 所以"(a)=2oa). 错解分析此解法错误的根源在于(x)的一阶导函数有界并不能保证x)二阶可 导.而上述求解却要用到p(x). 注此题用到如下结论： a.有界量与无穷小的乘积仍为无穷小：b.可导必连续. 例4设的一阶导数在x=a处连续且一+@=1，则(。 A.x)在x=a处的二阶导数不存在. B.mf(x+a)一定存在。 c.f'(a)=l. D.f'(a)=2. 解因为吗x+@-,所以四了x+a)=0,由于f)在x=a处连续，故 fa)=0. 又因为一t@=mx+o=1,所以fra=1.选c (x+a)-a 例5设fx)在x=0的某个邻域内有定义，x、y为该邻域内任意两点且fx)满足条 件： (1)fx+)=fx)+f)+1: (2)f0)=1. 试证在上述邻域内(x)=1. 分析此处无法用求导公式和求导法则证明了(x)=1.由于(x)的表达式未给出，故 只能考虑从定义出发.如果用条件(2)，则需先求出f0). 证明因为f)在x=0的某个邻域内有定义，记该邻域为E,，则对任意x、y∈E 有f(x+)=f八x)+f)+1.令y=0,则fO)=-1.于是对任意xeE,当x+△r∈E及 AxeE时，考虑下列极限 m+A/@-+f+-f@ =-4- Ar ( ) ( ) lim x a f x f a → x a   − − = 2 2( ) ( ) ( ) ( ) lim x a x a x x a x x a   → − + −  − = lim[2 ( ) ( ) ( )] x a   x x a x → + −  = 2 ( )  a , 所以 f a ( ) = 2 ( )  a ． 错误解答 因为 2 f x x a x x a x   ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = − + −   ， 2 f x x x a x x a x x a x     ( ) 2 ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = + − + − + −     ， 所以 f a ( ) = 2 ( )  a ． 错解分析 此解法错误的根源在于 ( ) x 的一阶导函数有界并不能保证 ( ) x 二阶可 导．而上述求解却要用到 ( ) x ． 注 此题用到如下结论： a．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b．可导必连续． 例 4 设 f x( ) 的一阶导数在 x a = 处连续且 0 ( ) lim 1 x f x a → x  + = ，则（ ）． A． f x( ) 在 x a = 处的二阶导数不存在． B． 0 lim ( ) x f x a →  + 一定存在． C． f a ( ) 1 = ． D． f a( ) 2 = ． 解 因为 0 ( ) lim 1 x f x a → x  + = ，所以 0 lim ( ) 0 x f x a →  + = ，由于 f x ( ) 在 x a = 处连续，故 f a( ) 0 = ． 又因为 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim 1 ( ) x x f x a f a f x a → → x a a x    + − + = = + − ，所以 f a ( ) 1 = ．选 C． 例 5 设 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内有定义， x 、 y 为该邻域内任意两点且 f x( ) 满足条 件： （1） f x y f x f y ( ) ( ) ( ) 1 + = + + ； （2） f (0) 1 = ． 试证在上述邻域内 f x ( ) 1 = ． 分析 此处无法用求导公式和求导法则证明 f x ( ) 1 = ．由于 f x( ) 的表达式未给出，故 只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出 f (0) ． 证明 因为 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内有定义，记该邻域为 E ，则对任意 x 、 y E ， 有 f x y f x f y ( ) ( ) ( ) 1 + = + + ．令 y = 0 ，则 f (0) 1 = − ．于是对任意 x E  ，当 x x E +   及  x E 时，考虑下列极限 0 ( ) ( ) lim x f x x f x  → x +  −  = 0 [ ( ) ( ) 1] ( ) lim x f x f x f x  → x +  + −  = 0 ( ) ( 1) lim x f x  → x  − −  = 0 ( ) (0) lim x f x f  → x  − 