VoL23 No.5 段雅丽等：-一种求解二维热传导方程的高效算法—ETF-DS-MG方法 ·473· 5数值例子 表12种算法运行时间比较 Table 1 Comparison of two methmetics in running time 本节给出用ETF-FDS-MG方法解扩散 算法 g行/S 误差lv-ul。 方程的例子，并比较FE-MG和ETF-FDS-MG2 ETF-FDS-MG 63.05 1.2847×10+ 种算法的效果，都用二重网格V(0,I)循环；Jaco- FE-MG 1008 5.38×102 bi光滑迭代取精度ε=105，且用了加速技术. 之间的关系图；ETF-FDS-MG解、时间轴、空间 考虑如下方程： 轴之间的三维立体图（图2；图3给出0.02时 器-29+器》0e021*02]*p,T FE-MG算法残余量模(1g(lr‖)、误差模（‖ xy,0=sin(x/2)sin(y/2)(xy)e[0,2]×[0,2] v-ule)与迭代次数之间的关系图；图4为FE 表1是2种算法在t0.02(x0.0002,h-0.1) MG解、时间轴、空间轴之间的三维立体图 时，运行(CPU)时间及误差表 由此可见，ETF-FDS-MG比FE-MG效果 图1给出O.02时用ETF-FDS-MG算法残 好，速度快，误差小 余量模(lg(lr.)》、误差模（‖v-u‖。）与迭代次数 (a) 61 ② -8 0.5 ETF-FDS-MG 2 ETF-FDS-MG -9 10 0 1.5 2 00 选代 1.5t代 图1运行时间和残余量模及误差模关系 图2ETF-FDS-MG三维图 -6 FE-MG 4 (a) FE-MG (b) (= 6 0.054 8 -10 0 10 20 30 0 1020 00 n选代 n法代 图3运行时间和残余量模及误差模关系 图4FE-MG三维图 参考文献 4 Zhang J.Residual Scaling Techniques in Multigrid I: 1蔚喜军.线性抛物型方程的多重网格法。计算数学， Equivalence Proof.Appl Math Comput,1997,86:283 1996(3):241 5 Zhang J.Residual Scaling Techniques in Multigrid II: 2 Chawl A M,AL-Zanaidi M A.An Extended Trapezoidal Practical Aplications.Appl Math Comput,1998,90:229 Formula for The Diffusion Equation.Computers and 6胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法.北京：科学出版 Mathematics with Applications,1999,38:51 社，1999 3 Jacques I.B.Extended One-step Method for the Numeri- 7 Xu Jinchao.Theory of multilevel methods:([Thesis of Ph. cal Solution of Ordinary Differential Equations.Intem J D].Pennsylvania:The Pennsylvania State University,1989 Computer Math,1989,29:247 An Efficient Algorithm for Two-Dimension Heat-conduction Equation ETF-FDS-MG DUAN Yali,ZHANG Xiaodan Applied Science School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT An efficient algorithm is devised and analyzed for Two-Dimension Heat-conduction equation. It is proved that the ETF-FDS-MG(Extended Trapezoidal Formula Finite Difference Scheme Multigrid )meth- od is third-order in time,two-order in space,unconditionally stable and high order convergent.Numerical example confirms the ETF-FDS-MG method is superior to the FE-MG(Finite Element Multigrid)method. KEY WORDS heat-conduction equation;ETF-FDS-MG;FE-MGV bL 23 N o . 5 段 雅 丽等 : 一种 求解 二维热 传 导方程 的高 效算 法— ETF 一 FD S一M G 方法 . 4 73 . 5 数值例子 本节 给出用 ET F一 D S -]叭 G 方法解 扩散 方程 的 例子 , 并 比较 F E - M G 和 E T F - F D S es M G Z 种算法的效果 , 都用 二重网 格 V( O , 1卜循环 ; J a c 。 - ib 光 滑迭代 取精度E = 10 一5 , 且 用 了加速技 术 `4,5 , . 考虑如下方 程 : 表 1 2 种算法运 行 时间 比较 aT b l e 1 C o m P a r i s o n o f wt o m e th口 e t i e , in r u二 in g n . e 算 法 E T F一 FD S一 M G F E一 M G 坛行 八 6 3 . 0 5 10 0 8 误差 }} v 一 ul . 1 . 28 4 7 x l 0 4 5 . 3 8 K 10 二 鲁 一 号嚼 ~ 会 , x( , , ` , E〔o , 2 , ` 〔“ , 2 , ` 【。 , T , u x( 少 , 0 ) = s in (狱 /2 ) s i n (卿/2 ) x( 少)任 [ 0 , 2 ] x [ 0 , 2 ] 表 1 是 2 种算法 在 护 0 . 02 (厂 0 . 0 0 02 , h=0 . 1) 时 , 运行 ( CUP )时间及误差表 . 图 1 给 出卜0 . 02 时用 E T F 一F D S - M G 算法 残 余量模 ( 19 ( }} r }} 二 )) 、 误差模( }卜一 u }} . )与迭代 次数 之间 的关 系图 ; E T F干 D S - M G 解 、 时间轴 、 空 间 轴之间 的三维 立体 图( 图 2) ;图 3 给 出 卜0 .0 2 时 FB M G 算法残余 量模 ( 19 ( } r {} 二 ) ) 、 误差模 ( }} v 一 ulI 二 ) 与迭 代次数之 间的关系图 ; 图 4 为 F E￾M G 解 、 时间 轴 、 空 间轴之 间的三维立 体 图 . 由此 可见 , E T F一 F D S一M G 比 F-E M G 效果 好 , 速度快 , 误 差小 . 0 ,` , 流长 一之nl ( b ) 0 . 5 , } E “ 一 F D, 一 MG 0 ” n 透 代 月迭代 图 1 运行 时 间和残 余 t 模 及误 差模 关 系 书-789 ǎ ! 一` à一如 图 Z E T F一 F D S一 M G 三维图 F E es M G (b) 、 一 \ . 一圣 胃! 一 、 摆又 -l0碑巧名 “ ’ ǎ 。 一乏à一的 10 2 0 3 0 n 透代 n 迭代 图 3 运 行时 间和 残余 一模及误 差模关 系 图 4 F E一 M G 三 维图 参 考 文 献 4 z h an g J . eR s i dau l s e a li n g eT e hn i q u e s i n M u l t ig i d I : l 蔚喜军 . 线 性抛 物型 方程 的多重 网格 法 . 计算数 学 , E q u i v a l e n c e p r o .f A p pl M a ht C o m p u t , 19 9 7 , 8 6 : 2 8 3 1 9 96 ( 3 ) : 2 4 1 5 hZ an g J . R e s i d u a l s e a l i n g eT c hn i q u e s i n M u l t ihg d 11 : 2 C h aw l A M , A L 一an a id i M A . A n E x t e n d e d rT a p e oz id a l p ar c t i c al A p li c at i o n s · A p p l M at h c o m p ut , 19 9 8 , 9 0 : 2 2 9 oF ~ la for hT e iD 而iso n qE uat io n . co m uP et sr an d 6 胡健 伟 , 汤 怀 民 · 微分 方程 数值方法 . 北京 : 科 学 出版 M hat em at i e s w i ht ^ 即一i e at i o ns , 19 9 9 , 3 5 : 5 一 社 , 19 9 9 3 J ac q u e s l · B . E x t e n d e d on e 一 s t叩 M汕 o d 凡r 山e N um e ir 一 7 x u j i n c h a o · hT e o口 o f m u l t il e v e l m e ht o d s : [仆 e s i s o f Ph . c a l s o l u t i o n o f o dr i n脚 D i fe er n ti a l E q u at i o n s . I n te m J D ] · p e n s y l v an i a : hT e p e n 卿I v an i a s at te U n i v e sr i饥 1 98 9 C o m P u et r M aht , 19 89 , 2 9 : 2 4 7 A n E m e i e n t A l g o r it h m fo r T w o 一 D i m e n s i o n H e a t 一 c o n d u c it o n E q u a it o n E T F 一 F D S 一 M G D 之J/ 建N aY il, Z祛 4 N G iX a o da n A p li e d S e i e n e e S e h o l , U S T B e ij ign , B e ij in g 10 00 8 3 , C h in a A B S T R A C T nA e if e i e nt a l g o ir thj m 1 5 d e v i s e d an d an a l y z e d of r wT o 一 D 如 e n s i o n H e at 一 e on d u e t i o n e q 切欲ion . It 1 5 Por v e d ht at ht e E T F 一 F D S 一 M G (E x t e n d e d rT a P e z o ida l F o rm u l a F in ite D i fe re n e e S e h e m e M ult i gh d ) m e ht - o d 1 5 ht idr 一 o r d e r in t而 e , wt o 一 o r d e r in s P a e e , ucn o n d iit o n a lly s at b l e an d h ihg o dr e r e o n v e 飞e nt . N um e ir e a l e x 田爪P l e c o ifn mr s het ET F 一 FD S 一 M G m het o d 1 5 s uP e r i o r ot ht e F E 一 M G (F i n it e E l e m e in M u lt i igr d ) m e ht o d . K E Y WO R D S h e at 一 e o n d u e t i o n e q u a t i o n : E TF 一 F D S 一 M G : F E 一 M G