·472· 北京科技大学学报 2001年第5期 精确解，{}为K层网格迭代解.设矩阵B:的 8(lu-u+a)+-ia. 逆，当存在正常数o,使得充分小的t,0<<o,h= 由(19)，(18)式，得 g(x)时，关于n一致有界；又若lR‖=o(+), l-lla≤c(h+r)+l'-l+ lPl=o(x+h),则有‖G-al≤c(h+t),常数c与x, 川a-,-ila,≤c6(h+r[1+8++…+8-]+ h无关. [川ag---la+8l=-lg…+ 证明：由上述引理，存在与h,t和{}无关的 -wl-1-4设-，llaJ (22) 常数c,使得 再由(22)式，得 4-l=o(+h),或l-dl≤c(h+r)(15) la处-1-g-lla≤lak-1--lla+lt--设-lla≤ 令川la=(B0,l2=(,,由范数的等价 c(h-+r)训-1-W-la≤ 性，判断存在常数c,使得a≤c?. c(h-,+r(1+）+d‖k-2--zlla 如果不考虑时间方向解的校正，或者对于 利用h=2hx,关于k递推，得 固定的时间t=tn,那么求解式(14)的多重网格方 M-,-ug-:lla,≤c(h候-+rX1+8+c(保-2tr)1+88+ 法就是求解一个强椭圆型方程的多重网格方法， …+≤c(h房+t2）1+8)8-n+8-2n‖-la 记g+为多重网格方法的迭代解，为K重网 因为！-=-，所以由(19)式，得 格的迭代解的初始值，由文献[7]可知存在与h: la-,--l&.≤cf1+h保-+h保-，8+…+h8-2w）+ 无关的常数8E(0,1)使得 crI*I+5+s发4gscr -呢a9il≤6llG-远ola (16) 当46<1时，t--2lla.≤c(h:-+r）(23) 令a=派aw1,由Gn的定义： 同样地对，由(21)式及三角不等式，有： gw=a-+P(d-,--) l2证-1-t-la≤l2--经-la+lu2--4-la+ 由文献[]可知系数矩阵、限制和插值算子 ‖4g---il&,≤82--42-la+8l证-2-at-za+ 的关系：B-=PBP.经n步FMG迭代有： uz-:-uh-iMe+orllul-:-u-ilo+ollit-2i8-2as i-ula≤l-al+‖Pe--e-Dl川a≤ 8Wui-1-ui-ila+oi2u2lla+ut-lla (lg-la+‖-1-la)+8lf'-a-‖a(17) +oM-2--2+ui--ul-ia+8ui--i-ia+ 其中为n一1步时间K层网格(14)的精确 8ll-2-4g-2lla≤(1+)[Ilw2--w-‖a+ 解，G-为n步时间K-1层网格(14)的精确解，因 8lu-1-la+8‖t-2-u-zla]+8‖径-2--2llan 此有： 再由(19)和(23)式，上式变为： l-la≤cl-≤ a-1-h-la.≤c[(1+(候-+r+(1+）x ci(). 由(15)式‖--‖a≤c(h+r) (18) Nr,-,A≤+y院生4 G--lg≤c(h-tr) (19) *0p与yI0发g 结合式(17)，(18)和(19)，并利用A:=和 =,关于时间步n递推，得： . 当46<1时，有l2--止-川a,≤c(候+)， l-l.≤c(h-+m+r)+月4-lla≤ 完全类似地可以证明：--la≤c(候+t). ch+r)[1++++8-]≤c(h+r） (20) 所以(22)式变为： 由三角不等式和式(15)及(20)得： llit--itilla.sco(h+)+ llu-inll sllu-uill+ll-inll sc(+). (候+)[1+6++…+8-1]≤(h+). 定理2假设4是式(1)的解，{是式(14)的 由三角不等式和(1S)式及上式得： 精确解；{a为TFMG迭代解.设矩阵B:的逆， lli-iillsllu-uill+llui-illsc(hi+). 存在正常数t,使得充分小的t,0<,h=g()时 对于TFMG算法的运算量，很容易看出 关于n一致有界；又R‖=o(h+r),lP=o(h+r), 对于每个固定的t,TFMG算法为通常的椭圆 则有l-≤c(h+r),常数c与x,h无关 型方程多重网格方法，这样由文献[刀可知，对 证明：由式(16)”-FMG(14)的迭代解满足 每个固定的t,TFMG算法的运算量为cN(W o=-1+P(a-1-u=), 为第k层系数矩阵的维数)，由此得到：TFMG算 u-ula≤8-lla+lPa-1-a)la≤(21) 法的运算量为c(NWk)(N为时间步数).精确解 2{姗 47为K层网 格迭代解 北京设矩 科阵B的 技大沙 学(l试一 报}+l翻 一翻引!.) 年矽}` 12期一粼} 05 逆当g(r)时}尸= 存在正常关于o份+h圣) 数r0使n一致有则}{衅 得充分小界;又若一盆!}`。( 的O<}尸1二h圣+)常 杯r0h=o(护+从)数c与r, 由(19),}减夕】公瑟 (18)式一训I`云全:川 得c沙(h圣衬`。占 )+列}试一厅【l+沙 尔}a.+子… 卜]+ 从无关证 明由上 述引理 存在与爪 T和{试 }无关的 沙【叫 }粼一试引翻 }十列尔{j 二卜翻引 }B.…十(2 ) 常数c}!从一川令训 使得卜o(护+h}裔=试尹 D或}属)训 }试一训`cz(】二呱碳) 从厅)由范数 (15)的等价 }讯 再由(2)一试 式得}引认c(从l+ 一跳!}.+I钓似一 }试一琳!` }` 性判如 断存在常果不考 数c使虑时间方 得}川!众向解的 `c}训校正或 者对于 利用hk-l= 。(h孟厅2瓜关于 )(l+的十k递推得 洲}粼一 衅} 固定的法就是记城, 时间r二求解一为多重 r那么个强椭圆网格方 求解式(1型方程的法迭代 4)的多重网解城为 网格方法K重 `}云未…+ 一u呈1伪(h扦肖因为刻一 `c(斌份卜沙)尹衡试=州一川 )(l+占e十尹”}云所以由 (拭份)}一川!(19)式 l+夕)沙得 格的迭无羊人 代解的常数。任巾取、 初始值(0.l)伸沙叶氏 由文献〔得可 7]可知存 在与h 1翻、cr以 一试}、期1(帘切八一, `。(l+的、:.,…十 (麟汁腿沙、;:卫二乏cn妥万 +.斌护(丝鱼星<万初产乏 2)n+尸一1CT不矛 令 ”`一解公卜破a+M7附一瞬= _、}`引妙川“由城P田k.0似+尸(试 !`一流1的定义则儿人一试二}) (16) 当材 一<l时。*`、同样地对 ~}!云;一二由(21),一 试!}`、二一式及三角上 …。e(h圣+护)丫,、不等式 ~(23七有上 ) 由山的关系 文献[71人啡Bk一 可知系,州小PrB尹经 数矩阵限淋`叮。步FMG 制和插叭山迭代有 值算子以一 …l}跳。圣 一沉}试 ,三洲1云立十列.。;一 二一解1+沙试训 ,_1阮茸一沉以试 1、}+` 撰敷 嫌淤 i 列试+训}占1舀 一试}1应4;u呈. 声尹}云孟{洲试`(l+占 一试{I眺}+)[l圣一u +沪!}试训u宾一妻+ 一试{}声 此有 州“ {一试}再由(19) .+到认和(23)式 一衅}介上式变 到试为 一认1 1由(巧 解一}l_片恤 盒三C!试一石粼`lis 解!l三赢一c(hi冲 `一,!) “即 黑卜 讼览” 、能紧笠汀 老骡黑翔!{ 、:二1’, 嘿,三珊一 结刃 1试一卜合式(口少“ 试二川一卜凡7)(18和 `ch圣+护二U(19)并“ )利用*一 〔19、粤。卜和2 ) 十(+。1八 1+占今尸一十、;1二下川一 竺命升(一沙迎擎二不骊厂 1+沙)夕h孟卜 气祥法一l4沙 试二“一捌 关于时`砂 间步n递(h未+解 推得动十列` 一缸”` 完全 当4占<l类似地可 时有jI以证明 然一沉jla,以尔一翻 荟c(从引}` 厅)拭一份 c沙由三角1 (瑟厅)[l不等式u厂翻1` 钻+夕…和式(巧Ilu厂琴1 +子〕`)及(20得1+试一粼l c(h蕊厅)}`e(h受厅 (20) 所以l}缸 (2)式变一似引}(方凳份 为`c夕(h卜护)[l+占夕 )+件…子一 ]`。(hl+ 护) 定精确存在 理2假解;{云又}为正常数r0 设映是式TFMG使得充 (l)的解迭代分小: {试}是设矩阵0<TOh 式(14)的B逆=g(劝 由三角不}I`一二21对于 等式和`1。厂:TFMG算 (巧)式及!I+}。卜云法的运算 上式得川`e(九笼厅量很 )容易看出 关于则有 。一致有“又韶` 界;又IlR伪(h;+钓 “二o(簇+的常数。与 “川}二r,hk无关 o(从+动 对于型方 每个固定程多重 的t=网格方法 TFMG算这样由 法为通文献[71 常的椭圆可知对 证 明由u:,0 式(l6)个二尔+P FMG(14)你一沐 的迭代解协 满足 每个为第 固定的k层系数 tTFMG矩阵的 算法的维数)由 运算量为此得到 c人(NxTFMG算 仪一 捌助恤 一解” +列P(尔 一云黝 }!`(2l) 法的 运算量 为。(N八 火)(N为 时间步数 )