VoL23 No.5 段雅丽等：一种求解二维热传导方程的高效算法一ETF-FDS-MG方法 ·471 提出ETF-FDS-MG算法. DDDDDiD 为方便把第k层（细网）上的式(6)写为： 最后得： B=CuG+tFR (7) 设已得到k-1层（粗网）上的解 DDDDD- 4-1=[g-,绿-，…，g]. 石thDD-3OoiD,-360rDD+. (1)解在时间方向上的粗网格校正得到： 由此可看出ETF-FDS格式的阶是o+), 1=+P8,其中6=1-，P是投影 即其时间可达三阶精度，空间可达二阶精度. 算子； (2)对式(7)进行a次前光滑迭代(Jacobi,, 3ETF-FDS的稳定性 Guass--Seidel,,Richardson等迭代法)得； (3)空间方向粗网上的校正：（R是限制算 把式(8)进行整理，得（令r-vH) 子)w=+P·inv(Bk-R-(Ck+rF-Br； 4i-6(&+6[4-r+]=G+3(+d)4(10) (4)对式(7)进行B次后光滑迭代，得到 已知，(+)时=+州-4++1（11) w,这样就完成了一次二重网格迭代 那么(+)+)=+-8u-8+ 由上可得到求解方程(1)的依赖于时间的 204-82-8++2+2州-+2+ 完全多重网格法(TFMG).对于=1，方程(7)的 2-+2♪1 (12) 解可由直接方法求解得到，对k>1,方程(7)的 把式(11)和式(12)代入式(10)，得 近似解由下述递归定义的多重网格迭代方法求 分'-子g+-4G+++后th6 解得到：hu=+Pus-, +42-81一8-8，-8州+ =MGk,y,4),进行)次多重网格迭代， 2-1+2+24-1+2-1+201)= i=u. 当K)=n时，称TFMG为”-FMG(完全多重 riG-utigv-416r4mtu-) (13) 网格)算法；炉1时，TFMG称为V(a,)-循环；2 用Fourier方法分析ETF-FDS格式的稳定 时，TFMG为W(a,-循环 性，令=Veew,代人(I3),得过渡子： G(t,K)= 2ETF-FDS的局部截断误差 [3-4r(sin()sin(8r(sin( 为讨论方便先给出二维扩散方程的ET℉- FDS格式： sin》+8rsin+sin(y. G'-》=六+2u+4-(+】 其中K=仫k),很显然，对任何r=wh都有 G(z,K)l≤l,即Von Neumann条件满足，由此推出 (8) ETF-FDS格式是无条件稳定的. 引进向前平移算子E,其定义为：E=, 再引进算子L从而式(8)变为： 4ETF-FDS-MG算法的收敛性 L=E-10-(+2+4-(+别1E9 下面求算子L的局部截断误差，设D.=云， 令L-器-驶+器》=0L在两格 D=号D=品又有0，=KD+D,在K展 点G,↓n)处的值为Ll,其ETF-FDS的值为 La,R"=Llu-Lr=ff 开Taylor.展式： 引理的设矩阵B的逆，当存在正常数，使 京成=0+DD+, 得0cK6h=8如h=√俨)时，关于n一致有 成-D+ h +12D+360D+"…, 界，且格式(6)是稳定和相容的（当然t充分小）， E=1D+2D+gD+,从而得， 则它是收敛的.此外又若 ‖R‖=o(+,1P=o(t+,a>0,>0,则有 6+2+4-医+]E}=D,+D4 lw-[ul"ll =o(+h). 言D+石rD+zrDD,+zDD+ 把式(T)写为：BG=C'+rF1 (14) 定理1假设4是式(1)的解，{}是式(14)的、 b L 2 3 N o 一 5 段雅 丽等 : 一种求解 二维 热传 导方 程的 高效算 法— E T F一 F D S一 M G 方法 . 4 7 1 提 出 E T F - FD S -M G 算法 . 为方便 把第 k层 (细 网 )上 的式 ( 6) 写为 : 及盯 , = G 试长尺 (7 ) 设 已得 到k一 1 层 ( 粗 网 )上的解 协 一 , = 〔川 一 , ,试 一 : , … , 碟 ,」 T . ( l) 解在时间方向上 的粗 网格校正得到盯 , : 可 , = 试十尸占碟{ , 其 中占丫 , = 了 , 一矿 , P 是投 影 算子 ; ( 2 ) 对式 ( 7 ) 进行 a 次前光 滑迭代 ( J a e o b i , G uas -s S e id e l , 形 e h ar d s o n 等迭代 法 )得喘 ; ( 3) 空 间方 向粗 网上 的校正 : ( R 是限制算 子 ) 砚心认 , ) = 试猫+ 尸 j 创 (及 一 , ) · .R (Q 试竹石T一及试猫) ; ( 4) 对 式 (7 ) 进 行夕次后光滑 迭代 , 得 到 城为 十 : , , 这样就完成 了一次二重 网格迭代 . 由上可 得 到求解 方程 ( l) 的依赖 于时间的 完全多重 网格 法( TF M G ) . 对于卜 1 , 方程 ( 7) 的 解 可 由直接方法 求解 得到 , 对 妙 1 , 方程 ( 7) 的 近似解 由下 述递归定义 的多重 网格迭代方法 求 解得 到 : u , = 众+P · 面卜 : , u , = 妇叮叫 ’k( k, ,y ku ) , 进行抓k) 次多重 网格迭代 , U 二 协 . 当抓k) = 冲时 , 称 T F M G 为叮一M (G 完 全多重 网格 )算法 ; 厂 1 时 , TF M G 称 为 V a( 月一循环 ;厂2 时 , T F M G 为 W a( 扔一循环 . 知砌 r 偏 人卿 r 嘴尹嗽喻 认洲尽+ … 最后 得 : 劣h 分 l 名 侧 一长 枷二。 勿沪 矛 枷琳 一责 动 。 一俞二 汁 2研众 一 3 6 0 h 月月力 t 由此 可看 出 E T F一 F D S 格 式的阶是 。 h( 2厅) , 即 其 时间可达三阶精度 , 空 间可 达二阶精度 . 2 E T F ’- F D S 的局部截断误差 为讨论 方便先 给 出二维扩 散方程 的 E T F一 F D S 格式 : 李、 一 、 一 命。 &)( ,。 4[ 一 令。 &)] 引 ( 8 ) 引进 向前平移算子+E, , 其定义为 : +E, 岭 = 才 , , 再引进算子 L 从而式 ( 8) 变 为 : L 一 枷 一 1卜命 次+ 毋){ 2 + 。4 一孕* 、 )〕二} ( 9 ) 下 面求算 子 L 的局 部截断误差 ,设众 · 答 , ’ 一 『 J -一 寸 一 ~ / , H’r 刚脚 , ~ ~ ’ ~ 一 x d t ’ 。 d , d ~ 一 ~ , ~ , . ~ , 、 一 , 、 ~ 坏二 面汀刀 r = 不万 , 关 们 幼 = 域优十环 ) , 仕 u( 大乡y , “ j “ ` t夕胶 开 几y lor 展式 : 宾次一 众十其侧琪物卜 . … h Z “ x ~ x ’ 12 ~ x ’ 3 6 0 ~ x ’ 耘 一 众+黑众长些议十 · … h Z 即 ~ y ’ 12 ~ 夕 ’ 3 6 0铆 ’ +tE 一 l动号似幸 研十 … ,从 而得 , 静 “ 斌 , { 2 + 〔4一令次磷 ):二卜。 汁扣 + 枷命 侧债 、 ” 倩 h淞 3 E T F’- F D S 的稳定性 把式 (8 )进行整理 , 得 (令 ; 二 vh/ , ) ` ’ 一含(炙+ 挥){ 4 一 r (“ + 毋) ]` ’ 毗宁 “ + 母)岭 ( , 0 ) 已 知 , (次十礴)心 , = 球 份可乙一 4才件心沙以 . ( 1 1) 那 么 健十 毋X次+ 动叮 , = 谓+j 棍 J一 8衅 } ,l一 8谓汁 2 0才 , 一 8以 : 一 8以 , + 喊荡+ 以 2+ 2嗬与 一 ,+ 2嵘认 1+ 2才 } .卜 : + 2才 } 六 , ( 12 ) 把式 ( 1 1) 和式 ( 12 )代 人式 ( 10 ) , 得 ~ , 2 , 一 , . ~ . ` ~ 二 _ , _ , 、 尸 , _ . 好 , 一 令戏碟 }产嵘占一 4好 1+ 试足 . + 丫粼 , ) + 舟书了二+l u 轰梦汁 , , ` 3 ’ 、 , 一 ’ J ’ , ’ 甲 ’ , “ ’ , J一 ” , 尹 l, ’ 6 、 , 一 2“ ’ , Z J ’ 喘 + 以 2一 8球 b一 8谓 , 一 8以 : 一 8以 .+ 2暇 一 、+ 2暇 + 、+ 2才 } ,卜 1+ 2才 { 升: + 2 0心 , ) = 咐合城、 . , +l 、 . ,一 4、 +l 、 ,+ 、 一 1 ) ( 13 ) 用 F。 面er 方法分析 E件 一 FD S 格式 的稳 定 性 , 令 绒 , = 刀幼甘hkd , 代人 ( 13) , 得过渡子 : 以 丁月 二 , _ I _ : _ 2 , k l h 、 _ , 2 , 从h 、 、 , , r , . 。 , . , , k , h 、 . [ 3 一 4代s i n Z (男井) + s i n , ( 二影二) ) ] / [ 3 + s代s i n , (月井) + ” 、 一 ` 一` 、 2 产 一 ’ ~ “ 2 产 月 ’ L` ’ ~ 、 ` “ ` 、 2 产 ’ s i n Z (警 )) + 8尸( s , 2 (禁 + s、 2 (警 ) ) Z J · 其 中 K = k(, 太 ) , 很显然 , 对 任何 厂 二 丁M的 2 都有 }以 T为} ` 1 , 即 Vo n N e unL an 条 件满足 , 由此推出 E T F一D S 格式是无条件 稳定 的 . 4 E T F ’- F D s - M G 算法的收敛性 人 7 刁u , 沙u 护u 、 _ 、 _ , _ . _ 令“ 一 箭 一试乞黔箭) 一 几仍)t, 几在 网格 点 ’0, I, )n 处 的值为 hL 〔 “ 拐 , 其 E T F一D s 的值为 hL 喻 , 令尸 = 几【u 拐一石试 , , 尸钊了拐一刀 . 引理 师, 设矩阵 B 的逆 , 当存在 正常数0r , 使 得 0< r< 二 ,h 一 、 (如。 一 抨 )时 , 关于 一致有 界 , 且格式 ( 6) 是稳定 和 相容的 ( 当然 T充分小 ) , 则它是收敛 的 . 此外又 若 }}双 ” {} = o 份+ 的 , t汾 ,t = o份+ 的 , a > 0 , 户0 , 则有 }!矿一 [ u 」 ” }! = o (砂+ 的 . 把式 (7 )写 为 刃属 = C 试 一 l十护r 一 , ( 14 ) 定 理 1 假设 侨是式 ( l) 的解 , {试} 是式 ( 14 )的