D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2001.05.023 第23卷第5期 北京科技大学学报 Vol.23 No.5 2001年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2001 一种求解二维热传导方程的高效算法 -ETF-FDS-MG方法 段雅丽张晓丹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要针对二维热传导问题，提出了时间为三阶、空间为二阶的无条件稳定的ETF-FDS- MG算法(Extended Trapezoidal Formula Finite Difference Scheme Multigrid),分析了其精度和稳定 性，证明了其收敛性.数值分析实例说明ETF-FDS-MG算法的计算效率优于前人的FE-MG (有限元-多重网格)算法. 关键词二维热传导方程；ETF-FDS-MG;有限元-多重网格 分类号0241.82 依赖于时间的热传导方程在实际中有很多 8w）=(xH 应用.工程技术中许多重要问题如微波的热处 ofu(xyit)+f(xyit) (4) 理、自燃、地下水的传输、扩散物质浓度、电缆的 设f)=[Uxy,,fxy,,fxy,,fx,),…, 传输等问题都可用热传导方程来描述.通常用 fx,)]严；(0形式同f),则式(I)有如下式： 差分法解依赖于时间的热传导问题，以往经典 差分格式，如显格式、隐格式及C-N格式，通常 840=岸(M0H0,其中A=d化A,为 精度低，而精度高的却不易计算.因此设计精度 L×L阶块三对角矩阵，A:-tridiag(1,-4,1)为L×L阶 更高、稳定性好的高效算法，就成为一个具有现 三对角矩阵，I为L×L阶单位矩阵 实意义并很有兴趣的问题.本文针对二维热传 用ETF格式2： 导方程提出一种高效算法ETF-FDS-MG方法， r2=u+2rAu+2rfm1（令rv/h2=r), 其收敛性得到证明. n=么+25A仙+8A-并 1ETF-FDS-MG算法 立5f+8f-五：l 从而得式1的ETF-FDS格式： 考虑如下方程： 器-vat,Gcd0eQx0,n 0-子r4+日r=U写u+ (1) 五55+24l-rA-a】 (5) (x,0)=uox),x∈2 (2) x,)=0,(x,)∈ag×[0,T] (3) 令~ 号a+石F=B,写A=C和 其中， R=立56+24-rh-1.则式写为： QCR是矩形区域，对1e[0,T刀，(x)∈H6(2)四 Bum=Cur+tF (6) 为了建立差分方程，先进行网格剖分，取时 此处B是一对称矩阵，C的形式同A,F,为一L 间步长为xx方向和y方向的空间步长为h,这样 维的列向量，与n和x有关，在每个时间步，它是 就形成了一组网格点(x,1),j=1,2,…J,1=1,2, 常向量.其系数矩阵不像三对角矩阵，可用追赶 …,L,n=0,1,…,N. 法求解较容易，每个时间层如此计算是很不经 对空间用中心差分， 济的；且若处理大型问题，矩阵B,C很庞大，求 收稿日期2001-02-21段雅丽女，27岁，硕士 解效率更低.多重网格方法在这方面更能突出 *国家自然科学基金资助课题(No.60074034) 其优势，从而将ETF-FDS与多重网格法相结合，第 2 3卷 第 5期 2 0 0 1年 10 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u nr a l o f U n扮 e抢 iyt o f cs 沁. ec a皿 d Te e b n o l o yg B e ij加 g 、 b L 23 N o . 5 o e L 2.犯 1 一种 求解二维热传导方程的高效算法 — E T F 一 F D S 一 M G 方法 段稚丽 张晓 丹 北京科技大学应用科学学院 , 北 京 !0 0 0 83 摘 要 针 对二 维热传导 问题 , 提 出了时间 为三 阶 、 空 间为二 阶 的无 条件稳定 的 E T F一 F D S 一 M G 算 法 (E xt e n d e d T r a p e oz id a l r o rm u l a F i n it e n i fe re n c e s e h e m e M u l ti幼d) , 分析 了其精 度 和稳定 性 , 证 明 了其 收敛性 . 数值分 析实例 说明 E T F 一 F D S一 M G 算 法 的计 算效 率优于 前人的 F E 一 M G ( 有限元 一 多重 网格 )算法 . 关 键词 二维热 传导 方程 ; E T F 一 F D S一 M G ; 有 限元一 多重 网格 分 类 号 0 24 1 . 82 依赖于 时间的 热传导方程在实际 中有很多 应用 . 工程技术 中许 多重要 问题 如微 波的热处 理 、 自燃 、 地下水的 传输 、 扩散物质浓度 、 电缆 的 传输等 问题 都可 用热传导 方程来描述 . 通常用 差分法解依赖 于时 间的热传 导问 题 , 以 往经典 差分格式 , 如 显格 式 、 隐格式及 C书 格式 , 通常 精度低 , 而精度高 的却不易计 算 . 因此设计精度 更高 、 稳定性好 的高效算法 , 就成为一个具有现 实意义 并很有 兴趣 的问题 . 本文针对 二维热传 导方程提 出一种 高效算法 E T F- F D S - M G 方法 , 其收敛性得 到证 明 . , 刁 , 、 v , , , 亩 “ (x, , ,)t 一 亩(咖 x(, 扔 ,)t 十 挥 u x(, 办 ,) 大f( ’ x办 )t (4 ) 设 爪 )t 一 叭 尤 ,少 : , t) ,f( x ,扔 ,)t , … 爪义1扒 ,)t J x( 2 ,yl , t) , … , 月为扒 ,)t 几 u( )t形式 同八 )t ,则式 ( 1) 有 如下 式 : 己 , 、 v , , , 、 、 . 、 、 一 一 ` . … , , . 叭 。 考丁 u( t) = 会(A u( t) 十f( t) , 其 中 A = itr id ag 仪A , 乃为 口t ’ 、 ., 扩 U一 、 ’. 产 J 、 ’., ~ ’ “ “ “ 一` ~ 。 铲 , ` 一 , ` 产 ~ L xL 阶块三对角矩阵 , A : 二 t r iid ag ( l , 一 4 , l) 为L xL 阶 三对 角矩阵 , I 为L x L 阶单位矩 阵 . 用 E T F 格式 `, , ” : u 奈 2 二 u n + 2耐 u * ,+ Z fatT , (令 T U伪 2 = )r , u 时 】一 u · 喻 ( SA u · + S A u , , 一 A u 奈 2 ) + 1 E T F 一 F D S一M G 十 8儿 , 一+fn 2 〕 , 从 而得式 1 的 E T F一 FD S 格式 : 考虑如下 方程 : 刁u 二 . 、 币丁二 v 凸 u灯伏 , t) 算法 x( , t ) 任 g x [ 0 , 月 2 J . l 。 J , 、 , , l 以 一 丁从十万侧 一 )u ` = 以卜了M )u 产 ( 5 ) 、 , 尹 且,. 、少少. 了白内,j 、 ` .、了. 、 u x( , 0 ) = u 。 x( ) , x 任口 u x( ,)t = 0 , x( ,)t 任 a口 、 「0, 月 青5[ 不+ 2( 4I 一 rA*f) 】一儿 2 〕 其 中 , 口〔 r 是矩 形 区域 ,对 V 汇 0[ , 月 , u0 (x) 任州(动 〔 .l] 为 了建立 差分方程 , 先进行 网格 剖分 ,取时 间步长 为 : 声方 向和y 方 向的 空 间步 长为 h , 这样 就形成 了一组 网格点 x(, 扔 , 幼 , j 二 1 , 2 , … 从 l 二 1 , 2, … 工 , n = 0 , 1 , … 入 对空 间用中心 差分 , 收稿 日期 2 0 1刁2屯 l 段雅 丽 女 , 27 岁 , 硕 士 * 国家 自然科 学基 金资 助课题( N .o 6 0 0 7 4 0 34 ) * , 2 J . 1 , J , 。 , . I J ~ 甲 . 令 ` 一 含阴唁剐 , 一 B, +I 亨阴 一 C和 。 一 青〔二 十 2(4 I一 rA af)t 】 一 、 〕 · 则式 (5) 写为 : B u 。 · 1 = C “ 月 气只 ( 6 ) 此处 B 是一对称矩 阵 , C 的形式 同 A ,凡 为一 LJ 维的 列 向量 , 与D 和 r 有关 , 在每个时间 步 , 它是 常向量 . 其系数矩阵不 像三对角矩 阵 , 可 用追赶 法求解较 容易 , 每个 时间层如此计算是很不 经 济的 ; 且 若处理 大型 问题 , 矩阵 B, C 很 庞大 , 求 解效率更低 . 多重 网格方 法在这方面 更能 突出 其优 势 , 从而将 E T F平D S 与多重 网格法相结合 , DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2001. 05. 023