一种求解二维热传导方程的高效算法——ETF-FDS-MG方法

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2001.05.023 第23卷第5期 北京科技大学学报 Vol.23 No.5 2001年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2001 一种求解二维热传导方程的高效算法 -ETF-FDS-MG方法 段雅丽张晓丹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要针对二维热传导问题，提出了时间为三阶、空间为二阶的无条件稳定的ETF-FDS- MG算法(Extended Trapezoidal Formula Finite Difference Scheme Multigrid),分析了其精度和稳定 性，证明了其收敛性.数值分析实例说明ETF-FDS-MG算法的计算效率优于前人的FE-MG (有限元-多重网格)算法. 关键词二维热传导方程；ETF-FDS-MG;有限元-多重网格 分类号0241.82 依赖于时间的热传导方程在实际中有很多 8w）=(xH 应用.工程技术中许多重要问题如微波的热处 ofu(xyit)+f(xyit) (4) 理、自燃、地下水的传输、扩散物质浓度、电缆的 设f)=[Uxy,,fxy,,fxy,,fx,),…, 传输等问题都可用热传导方程来描述.通常用 fx,)]严；(0形式同f),则式(I)有如下式： 差分法解依赖于时间的热传导问题，以往经典 差分格式，如显格式、隐格式及C-N格式，通常 840=岸(M0H0,其中A=d化A,为 精度低，而精度高的却不易计算.因此设计精度 L×L阶块三对角矩阵，A:-tridiag(1,-4,1)为L×L阶 更高、稳定性好的高效算法，就成为一个具有现 三对角矩阵，I为L×L阶单位矩阵 实意义并很有兴趣的问题.本文针对二维热传 用ETF格式2： 导方程提出一种高效算法ETF-FDS-MG方法， r2=u+2rAu+2rfm1（令rv/h2=r), 其收敛性得到证明. n=么+25A仙+8A-并 1ETF-FDS-MG算法 立5f+8f-五：l 从而得式1的ETF-FDS格式： 考虑如下方程： 器-vat,Gcd0eQx0,n 0-子r4+日r=U写u+ (1) 五55+24l-rA-a】 (5) (x,0)=uox),x∈2 (2) x,)=0,(x,)∈ag×[0,T] (3) 令~ 号a+石F=B,写A=C和 其中， R=立56+24-rh-1.则式写为： QCR是矩形区域，对1e[0,T刀，(x)∈H6(2)四 Bum=Cur+tF (6) 为了建立差分方程，先进行网格剖分，取时 此处B是一对称矩阵，C的形式同A,F,为一L 间步长为xx方向和y方向的空间步长为h,这样 维的列向量，与n和x有关，在每个时间步，它是 就形成了一组网格点(x,1),j=1,2,…J,1=1,2, 常向量.其系数矩阵不像三对角矩阵，可用追赶 …,L,n=0,1,…,N. 法求解较容易，每个时间层如此计算是很不经 对空间用中心差分， 济的；且若处理大型问题，矩阵B,C很庞大，求 收稿日期2001-02-21段雅丽女，27岁，硕士 解效率更低.多重网格方法在这方面更能突出 *国家自然科学基金资助课题(No.60074034) 其优势，从而将ETF-FDS与多重网格法相结合

第 2 3卷 第 5期 2 0 0 1年 10 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u nr a l o f U n扮 e抢 iyt o f cs 沁. ec a皿 d Te e b n o l o yg B e ij加 g 、 b L 23 N o . 5 o e L 2.犯 1 一种 求解二维热传导方程的高效算法 — E T F 一 F D S 一 M G 方法 段稚丽 张晓 丹 北京科技大学应用科学学院 , 北 京 !0 0 0 83 摘 要 针 对二 维热传导 问题 , 提 出了时间 为三 阶 、 空 间为二 阶 的无 条件稳定 的 E T F一 F D S 一 M G 算 法 (E xt e n d e d T r a p e oz id a l r o rm u l a F i n it e n i fe re n c e s e h e m e M u l ti幼d) , 分析 了其精 度 和稳定 性 , 证 明 了其 收敛性 . 数值分 析实例 说明 E T F 一 F D S一 M G 算 法 的计 算效 率优于 前人的 F E 一 M G ( 有限元 一 多重 网格 )算法 . 关 键词 二维热 传导 方程 ; E T F 一 F D S一 M G ; 有 限元一 多重 网格 分 类 号 0 24 1 . 82 依赖于 时间的 热传导方程在实际 中有很多 应用 . 工程技术 中许 多重要 问题 如微 波的热处 理 、 自燃 、 地下水的 传输 、 扩散物质浓度 、 电缆 的 传输等 问题 都可 用热传导 方程来描述 . 通常用 差分法解依赖 于时 间的热传 导问 题 , 以 往经典 差分格式 , 如 显格 式 、 隐格式及 C书 格式 , 通常 精度低 , 而精度高 的却不易计 算 . 因此设计精度 更高 、 稳定性好 的高效算法 , 就成为一个具有现 实意义 并很有 兴趣 的问题 . 本文针对 二维热传 导方程提 出一种 高效算法 E T F- F D S - M G 方法 , 其收敛性得 到证 明 . , 刁 , 、 v , , , 亩 “ (x, , ,)t 一 亩(咖 x(, 扔 ,)t 十 挥 u x(, 办 ,) 大f( ’ x办 )t (4 ) 设 爪 )t 一 叭 尤 ,少 : , t) ,f( x ,扔 ,)t , … 爪义1扒 ,)t J x( 2 ,yl , t) , … , 月为扒 ,)t 几 u( )t形式 同八 )t ,则式 ( 1) 有 如下 式 : 己 , 、 v , , , 、 、 . 、 、 一 一 ` . … , , . 叭 。 考丁 u( t) = 会(A u( t) 十f( t) , 其 中 A = itr id ag 仪A , 乃为 口t ’ 、 ., 扩 U一 、 ’. 产 J 、 ’., ~ ’ “ “ “ 一` ~ 。 铲 , ` 一 , ` 产 ~ L xL 阶块三对角矩阵 , A : 二 t r iid ag ( l , 一 4 , l) 为L xL 阶 三对 角矩阵 , I 为L x L 阶单位矩 阵 . 用 E T F 格式 `, , ” : u 奈 2 二 u n + 2耐 u * ,+ Z fatT , (令 T U伪 2 = )r , u 时 】一 u · 喻 ( SA u · + S A u , , 一 A u 奈 2 ) + 1 E T F 一 F D S一M G 十 8儿 , 一+fn 2 〕 , 从 而得式 1 的 E T F一 FD S 格式 : 考虑如下 方程 : 刁u 二 . 、 币丁二 v 凸 u灯伏 , t) 算法 x( , t ) 任 g x [ 0 , 月 2 J . l 。 J , 、 , , l 以 一 丁从十万侧 一 )u ` = 以卜了M )u 产 ( 5 ) 、 , 尹 且,. 、少少. 了白内,j 、 ` .、了. 、 u x( , 0 ) = u 。 x( ) , x 任口 u x( ,)t = 0 , x( ,)t 任 a口 、 「0, 月 青5[ 不+ 2( 4I 一 rA*f) 】一儿 2 〕 其 中 , 口〔 r 是矩 形 区域 ,对 V 汇 0[ , 月 , u0 (x) 任州(动 〔 .l] 为 了建立 差分方程 , 先进行 网格 剖分 ,取时 间步长 为 : 声方 向和y 方 向的 空 间步 长为 h , 这样 就形成 了一组 网格点 x(, 扔 , 幼 , j 二 1 , 2 , … 从 l 二 1 , 2, … 工 , n = 0 , 1 , … 入 对空 间用中心 差分 , 收稿 日期 2 0 1刁2屯 l 段雅 丽 女 , 27 岁 , 硕 士 * 国家 自然科 学基 金资 助课题( N .o 6 0 0 7 4 0 34 ) * , 2 J . 1 , J , 。 , . I J ~ 甲 . 令 ` 一 含阴唁剐 , 一 B, +I 亨阴 一 C和 。 一 青〔二 十 2(4 I一 rA af)t 】 一 、 〕 · 则式 (5) 写为 : B u 。 · 1 = C “ 月 气只 ( 6 ) 此处 B 是一对称矩 阵 , C 的形式 同 A ,凡 为一 LJ 维的 列 向量 , 与D 和 r 有关 , 在每个时间 步 , 它是 常向量 . 其系数矩阵不 像三对角矩 阵 , 可 用追赶 法求解较 容易 , 每个 时间层如此计算是很不 经 济的 ; 且 若处理 大型 问题 , 矩阵 B, C 很 庞大 , 求 解效率更低 . 多重 网格方 法在这方面 更能 突出 其优 势 , 从而将 E T F平D S 与多重 网格法相结合 , DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2001. 05. 023

VoL23 No.5 段雅丽等：一种求解二维热传导方程的高效算法一ETF-FDS-MG方法 ·471 提出ETF-FDS-MG算法. DDDDDiD 为方便把第k层（细网）上的式(6)写为： 最后得： B=CuG+tFR (7) 设已得到k-1层（粗网）上的解 DDDDD- 4-1=[g-,绿-，…，g]. 石thDD-3OoiD,-360rDD+. (1)解在时间方向上的粗网格校正得到： 由此可看出ETF-FDS格式的阶是o+), 1=+P8,其中6=1-，P是投影 即其时间可达三阶精度，空间可达二阶精度. 算子； (2)对式(7)进行a次前光滑迭代(Jacobi,, 3ETF-FDS的稳定性 Guass--Seidel,,Richardson等迭代法)得； (3)空间方向粗网上的校正：（R是限制算 把式(8)进行整理，得（令r-vH) 子)w=+P·inv(Bk-R-(Ck+rF-Br； 4i-6(&+6[4-r+]=G+3(+d)4(10) (4)对式(7)进行B次后光滑迭代，得到 已知，(+)时=+州-4++1（11) w,这样就完成了一次二重网格迭代 那么(+)+)=+-8u-8+ 由上可得到求解方程(1)的依赖于时间的 204-82-8++2+2州-+2+ 完全多重网格法(TFMG).对于=1，方程(7)的 2-+2♪1 (12) 解可由直接方法求解得到，对k>1,方程(7)的 把式(11)和式(12)代入式(10)，得 近似解由下述递归定义的多重网格迭代方法求 分'-子g+-4G+++后th6 解得到：hu=+Pus-, +42-81一8-8，-8州+ =MGk,y,4),进行)次多重网格迭代， 2-1+2+24-1+2-1+201)= i=u. 当K)=n时，称TFMG为”-FMG(完全多重 riG-utigv-416r4mtu-) (13) 网格)算法；炉1时，TFMG称为V(a,)-循环；2 用Fourier方法分析ETF-FDS格式的稳定 时，TFMG为W(a,-循环 性，令=Veew,代人(I3),得过渡子： G(t,K)= 2ETF-FDS的局部截断误差 [3-4r(sin()sin(8r(sin( 为讨论方便先给出二维扩散方程的ET℉- FDS格式： sin》+8rsin+sin(y. G'-》=六+2u+4-(+】 其中K=仫k),很显然，对任何r=wh都有 G(z,K)l≤l,即Von Neumann条件满足，由此推出 (8) ETF-FDS格式是无条件稳定的. 引进向前平移算子E,其定义为：E=, 再引进算子L从而式(8)变为： 4ETF-FDS-MG算法的收敛性 L=E-10-(+2+4-(+别1E9 下面求算子L的局部截断误差，设D.=云， 令L-器-驶+器》=0L在两格 D=号D=品又有0，=KD+D,在K展 点G,↓n)处的值为Ll,其ETF-FDS的值为 La,R"=Llu-Lr=ff 开Taylor.展式： 引理的设矩阵B的逆，当存在正常数，使 京成=0+DD+, 得0cK6h=8如h=√俨)时，关于n一致有 成-D+ h +12D+360D+"…, 界，且格式(6)是稳定和相容的（当然t充分小）， E=1D+2D+gD+,从而得， 则它是收敛的.此外又若 ‖R‖=o(+,1P=o(t+,a>0,>0,则有 6+2+4-医+]E}=D,+D4 lw-[ul"ll =o(+h). 言D+石rD+zrDD,+zDD+ 把式(T)写为：BG=C'+rF1 (14) 定理1假设4是式(1)的解，{}是式(14)的

、 b L 2 3 N o 一 5 段雅 丽等 : 一种求解 二维 热传 导方 程的 高效算 法— E T F一 F D S一 M G 方法 . 4 7 1 提 出 E T F - FD S -M G 算法 . 为方便 把第 k层 (细 网 )上 的式 ( 6) 写为 : 及盯 , = G 试长尺 (7 ) 设 已得 到k一 1 层 ( 粗 网 )上的解 协 一 , = 〔川 一 , ,试 一 : , … , 碟 ,」 T . ( l) 解在时间方向上 的粗 网格校正得到盯 , : 可 , = 试十尸占碟{ , 其 中占丫 , = 了 , 一矿 , P 是投 影 算子 ; ( 2 ) 对式 ( 7 ) 进行 a 次前光 滑迭代 ( J a e o b i , G uas -s S e id e l , 形 e h ar d s o n 等迭代 法 )得喘 ; ( 3) 空 间方 向粗 网上 的校正 : ( R 是限制算 子 ) 砚心认 , ) = 试猫+ 尸 j 创 (及 一 , ) · .R (Q 试竹石T一及试猫) ; ( 4) 对 式 (7 ) 进 行夕次后光滑 迭代 , 得 到 城为 十 : , , 这样就完成 了一次二重 网格迭代 . 由上可 得 到求解 方程 ( l) 的依赖 于时间的 完全多重 网格 法( TF M G ) . 对于卜 1 , 方程 ( 7) 的 解 可 由直接方法 求解 得到 , 对 妙 1 , 方程 ( 7) 的 近似解 由下 述递归定义 的多重 网格迭代方法 求 解得 到 : u , = 众+P · 面卜 : , u , = 妇叮叫 ’k( k, ,y ku ) , 进行抓k) 次多重 网格迭代 , U 二 协 . 当抓k) = 冲时 , 称 T F M G 为叮一M (G 完 全多重 网格 )算法 ; 厂 1 时 , TF M G 称 为 V a( 月一循环 ;厂2 时 , T F M G 为 W a( 扔一循环 . 知砌 r 偏 人卿 r 嘴尹嗽喻 认洲尽+ … 最后 得 : 劣h 分 l 名 侧 一长 枷二。 勿沪 矛 枷琳 一责 动 。 一俞二 汁 2研众 一 3 6 0 h 月月力 t 由此 可看 出 E T F一 F D S 格 式的阶是 。 h( 2厅) , 即 其 时间可达三阶精度 , 空 间可 达二阶精度 . 2 E T F ’- F D S 的局部截断误差 为讨论 方便先 给 出二维扩 散方程 的 E T F一 F D S 格式 : 李、 一 、 一 命。 &)( ,。 4[ 一 令。 &)] 引 ( 8 ) 引进 向前平移算子+E, , 其定义为 : +E, 岭 = 才 , , 再引进算子 L 从而式 ( 8) 变 为 : L 一 枷 一 1卜命 次+ 毋){ 2 + 。4 一孕* 、 )〕二} ( 9 ) 下 面求算 子 L 的局 部截断误差 ,设众 · 答 , ’ 一 『 J -一 寸 一 ~ / , H’r 刚脚 , ~ ~ ’ ~ 一 x d t ’ 。 d , d ~ 一 ~ , ~ , . ~ , 、 一 , 、 ~ 坏二 面汀刀 r = 不万 , 关 们 幼 = 域优十环 ) , 仕 u( 大乡y , “ j “ ` t夕胶 开 几y lor 展式 : 宾次一 众十其侧琪物卜 . … h Z “ x ~ x ’ 12 ~ x ’ 3 6 0 ~ x ’ 耘 一 众+黑众长些议十 · … h Z 即 ~ y ’ 12 ~ 夕 ’ 3 6 0铆 ’ +tE 一 l动号似幸 研十 … ,从 而得 , 静 “ 斌 , { 2 + 〔4一令次磷 ):二卜。 汁扣 + 枷命 侧债 、 ” 倩 h淞 3 E T F’- F D S 的稳定性 把式 (8 )进行整理 , 得 (令 ; 二 vh/ , ) ` ’ 一含(炙+ 挥){ 4 一 r (“ + 毋) ]` ’ 毗宁 “ + 母)岭 ( , 0 ) 已 知 , (次十礴)心 , = 球 份可乙一 4才件心沙以 . ( 1 1) 那 么 健十 毋X次+ 动叮 , = 谓+j 棍 J一 8衅 } ,l一 8谓汁 2 0才 , 一 8以 : 一 8以 , + 喊荡+ 以 2+ 2嗬与 一 ,+ 2嵘认 1+ 2才 } .卜 : + 2才 } 六 , ( 12 ) 把式 ( 1 1) 和式 ( 12 )代 人式 ( 10 ) , 得 ~ , 2 , 一 , . ~ . ` ~ 二 _ , _ , 、 尸 , _ . 好 , 一 令戏碟 }产嵘占一 4好 1+ 试足 . + 丫粼 , ) + 舟书了二+l u 轰梦汁 , , ` 3 ’ 、 , 一 ’ J ’ , ’ 甲 ’ , “ ’ , J一 ” , 尹 l, ’ 6 、 , 一 2“ ’ , Z J ’ 喘 + 以 2一 8球 b一 8谓 , 一 8以 : 一 8以 .+ 2暇 一 、+ 2暇 + 、+ 2才 } ,卜 1+ 2才 { 升: + 2 0心 , ) = 咐合城、 . , +l 、 . ,一 4、 +l 、 ,+ 、 一 1 ) ( 13 ) 用 F。 面er 方法分析 E件 一 FD S 格式 的稳 定 性 , 令 绒 , = 刀幼甘hkd , 代人 ( 13) , 得过渡子 : 以 丁月 二 , _ I _ : _ 2 , k l h 、 _ , 2 , 从h 、 、 , , r , . 。 , . , , k , h 、 . [ 3 一 4代s i n Z (男井) + s i n , ( 二影二) ) ] / [ 3 + s代s i n , (月井) + ” 、 一 ` 一` 、 2 产 一 ’ ~ “ 2 产 月 ’ L` ’ ~ 、 ` “ ` 、 2 产 ’ s i n Z (警 )) + 8尸( s , 2 (禁 + s、 2 (警 ) ) Z J · 其 中 K = k(, 太 ) , 很显然 , 对 任何 厂 二 丁M的 2 都有 }以 T为} ` 1 , 即 Vo n N e unL an 条 件满足 , 由此推出 E T F一D S 格式是无条件 稳定 的 . 4 E T F ’- F D s - M G 算法的收敛性 人 7 刁u , 沙u 护u 、 _ 、 _ , _ . _ 令“ 一 箭 一试乞黔箭) 一 几仍)t, 几在 网格 点 ’0, I, )n 处 的值为 hL 〔 “ 拐 , 其 E T F一D s 的值为 hL 喻 , 令尸 = 几【u 拐一石试 , , 尸钊了拐一刀 . 引理 师, 设矩阵 B 的逆 , 当存在 正常数0r , 使 得 0 0 , 户0 , 则有 }!矿一 [ u 」 ” }! = o (砂+ 的 . 把式 (7 )写 为 刃属 = C 试 一 l十护r 一 , ( 14 ) 定 理 1 假设 侨是式 ( l) 的解 , {试} 是式 ( 14 )的

·472· 北京科技大学学报 2001年第5期 精确解，{}为K层网格迭代解.设矩阵B:的 8(lu-u+a)+-ia. 逆，当存在正常数o,使得充分小的t,0<<o,h= 由(19)，(18)式，得 g(x)时，关于n一致有界；又若lR‖=o(+), l-lla≤c(h+r)+l'-l+ lPl=o(x+h),则有‖G-al≤c(h+t),常数c与x, 川a-,-ila,≤c6(h+r[1+8++…+8-]+ h无关. [川ag---la+8l=-lg…+ 证明：由上述引理，存在与h,t和{}无关的 -wl-1-4设-，llaJ (22) 常数c,使得 再由(22)式，得 4-l=o(+h),或l-dl≤c(h+r)(15) la处-1-g-lla≤lak-1--lla+lt--设-lla≤ 令川la=(B0,l2=(,,由范数的等价 c(h-+r)训-1-W-la≤ 性，判断存在常数c,使得a≤c?. c(h-,+r(1+）+d‖k-2--zlla 如果不考虑时间方向解的校正，或者对于 利用h=2hx,关于k递推，得 固定的时间t=tn,那么求解式(14)的多重网格方 M-,-ug-:lla,≤c(h候-+rX1+8+c(保-2tr)1+88+ 法就是求解一个强椭圆型方程的多重网格方法， …+≤c(h房+t2）1+8)8-n+8-2n‖-la 记g+为多重网格方法的迭代解，为K重网 因为！-=-，所以由(19)式，得 格的迭代解的初始值，由文献[7]可知存在与h: la-,--l&.≤cf1+h保-+h保-，8+…+h8-2w）+ 无关的常数8E(0,1)使得 crI*I+5+s发4gscr -呢a9il≤6llG-远ola (16) 当46<1时，t--2lla.≤c(h:-+r）(23) 令a=派aw1,由Gn的定义： 同样地对，由(21)式及三角不等式，有： gw=a-+P(d-,--) l2证-1-t-la≤l2--经-la+lu2--4-la+ 由文献[]可知系数矩阵、限制和插值算子 ‖4g---il&,≤82--42-la+8l证-2-at-za+ 的关系：B-=PBP.经n步FMG迭代有： uz-:-uh-iMe+orllul-:-u-ilo+ollit-2i8-2as i-ula≤l-al+‖Pe--e-Dl川a≤ 8Wui-1-ui-ila+oi2u2lla+ut-lla (lg-la+‖-1-la)+8lf'-a-‖a(17) +oM-2--2+ui--ul-ia+8ui--i-ia+ 其中为n一1步时间K层网格(14)的精确 8ll-2-4g-2lla≤(1+)[Ilw2--w-‖a+ 解，G-为n步时间K-1层网格(14)的精确解，因 8lu-1-la+8‖t-2-u-zla]+8‖径-2--2llan 此有： 再由(19)和(23)式，上式变为： l-la≤cl-≤ a-1-h-la.≤c[(1+(候-+r+(1+）x ci(). 由(15)式‖--‖a≤c(h+r) (18) Nr,-,A≤+y院生4 G--lg≤c(h-tr) (19) *0p与yI0发g 结合式(17)，(18)和(19)，并利用A:=和 =,关于时间步n递推，得： . 当46<1时，有l2--止-川a,≤c(候+)， l-l.≤c(h-+m+r)+月4-lla≤ 完全类似地可以证明：--la≤c(候+t). ch+r)[1++++8-]≤c(h+r） (20) 所以(22)式变为： 由三角不等式和式(15)及(20)得： llit--itilla.sco(h+)+ llu-inll sllu-uill+ll-inll sc(+). (候+)[1+6++…+8-1]≤(h+). 定理2假设4是式(1)的解，{是式(14)的 由三角不等式和(1S)式及上式得： 精确解；{a为TFMG迭代解.设矩阵B:的逆， lli-iillsllu-uill+llui-illsc(hi+). 存在正常数t,使得充分小的t,0<,h=g()时 对于TFMG算法的运算量，很容易看出 关于n一致有界；又R‖=o(h+r),lP=o(h+r), 对于每个固定的t,TFMG算法为通常的椭圆 则有l-≤c(h+r),常数c与x,h无关 型方程多重网格方法，这样由文献[刀可知，对 证明：由式(16)”-FMG(14)的迭代解满足 每个固定的t,TFMG算法的运算量为cN(W o=-1+P(a-1-u=), 为第k层系数矩阵的维数)，由此得到：TFMG算 u-ula≤8-lla+lPa-1-a)la≤(21) 法的运算量为c(NWk)(N为时间步数)

精确解 2{姗 47为K层网 格迭代解 北京设矩 科阵B的 技大沙 学(l试一 报}+l翻 一翻引!.) 年矽}` 12期一粼} 05 逆当g(r)时}尸= 存在正常关于o份+h圣) 数r0使n一致有则}{衅 得充分小界;又若一盆!}`。( 的O<}尸1二h圣+)常 杯r0h=o(护+从)数c与r, 由(19),}减夕】公瑟 (18)式一训I`云全:川 得c沙(h圣衬`。占 )+列}试一厅【l+沙 尔}a.+子… 卜]+ 从无关证 明由上 述引理 存在与爪 T和{试 }无关的 沙【叫 }粼一试引翻 }十列尔{j 二卜翻引 }B.…十(2 ) 常数c}!从一川令训 使得卜o(护+h}裔=试尹 D或}属)训 }试一训`cz(】二呱碳) 从厅)由范数 (15)的等价 }讯 再由(2)一试 式得}引认c(从l+ 一跳!}.+I钓似一 }试一琳!` }` 性判如 断存在常果不考 数c使虑时间方 得}川!众向解的 `c}训校正或 者对于 利用hk-l= 。(h孟厅2瓜关于 )(l+的十k递推得 洲}粼一 衅} 固定的法就是记城, 时间r二求解一为多重 r那么个强椭圆网格方 求解式(1型方程的法迭代 4)的多重网解城为 网格方法K重 `}云未…+ 一u呈1伪(h扦肖因为刻一 `c(斌份卜沙)尹衡试=州一川 )(l+占e十尹”}云所以由 (拭份)}一川!(19)式 l+夕)沙得 格的迭无羊人 代解的常数。任巾取、 初始值(0.l)伸沙叶氏 由文献〔得可 7]可知存 在与h 1翻、cr以 一试}、期1(帘切八一, `。(l+的、:.,…十 (麟汁腿沙、;:卫二乏cn妥万 +.斌护(丝鱼星<万初产乏 2)n+尸一1CT不矛 令 ”`一解公卜破a+M7附一瞬= _、}`引妙川“由城P田k.0似+尸(试 !`一流1的定义则儿人一试二}) (16) 当材 一<l时。*`、同样地对 ~}!云;一二由(21),一 试!}`、二一式及三角上 …。e(h圣+护)丫,、不等式 ~(23七有上 ) 由山的关系 文献[71人啡Bk一 可知系,州小PrB尹经 数矩阵限淋`叮。步FMG 制和插叭山迭代有 值算子以一 …l}跳。圣 一沉}试 ,三洲1云立十列.。;一 二一解1+沙试训 ,_1阮茸一沉以试 1、}+` 撰敷 嫌淤 i 列试+训}占1舀 一试}1应4;u呈. 声尹}云孟{洲试`(l+占 一试{I眺}+)[l圣一u +沪!}试训u宾一妻+ 一试{}声 此有 州“ {一试}再由(19) .+到认和(23)式 一衅}介上式变 到试为 一认1 1由(巧 解一}l_片恤 盒三C!试一石粼`lis 解!l三赢一c(hi冲 `一,!) “即 黑卜 讼览” 、能紧笠汀 老骡黑翔!{ 、:二1’, 嘿,三珊一 结刃 1试一卜合式(口少“ 试二川一卜凡7)(18和 `ch圣+护二U(19)并“ )利用*一 〔19、粤。卜和2 ) 十(+。1八 1+占今尸一十、;1二下川一 竺命升(一沙迎擎二不骊厂 1+沙)夕h孟卜 气祥法一l4沙 试二“一捌 关于时`砂 间步n递(h未+解 推得动十列` 一缸”` 完全 当4占<l类似地可 时有jI以证明 然一沉jla,以尔一翻 荟c(从引}` 厅)拭一份 c沙由三角1 (瑟厅)[l不等式u厂翻1` 钻+夕…和式(巧Ilu厂琴1 +子〕`)及(20得1+试一粼l c(h蕊厅)}`e(h受厅 (20) 所以l}缸 (2)式变一似引}(方凳份 为`c夕(h卜护)[l+占夕 )+件…子一 ]`。(hl+ 护) 定精确存在 理2假解;{云又}为正常数r0 设映是式TFMG使得充 (l)的解迭代分小: {试}是设矩阵0<TOh 式(14)的B逆=g(劝 由三角不}I`一二21对于 等式和`1。厂:TFMG算 (巧)式及!I+}。卜云法的运算 上式得川`e(九笼厅量很 )容易看出 关于则有 。一致有“又韶` 界;又IlR伪(h;+钓 “二o(簇+的常数。与 “川}二r,hk无关 o(从+动 对于型方 每个固定程多重 的t=网格方法 TFMG算这样由 法为通文献[71 常的椭圆可知对 证 明由u:,0 式(l6)个二尔+P FMG(14)你一沐 的迭代解协 满足 每个为第 固定的k层系数 tTFMG矩阵的 算法的维数)由 运算量为此得到 c人(NxTFMG算 仪一 捌助恤 一解” +列P(尔 一云黝 }!`(2l) 法的 运算量 为。(N八 火)(N为 时间步数 )

VoL23 No.5 段雅丽等：-一种求解二维热传导方程的高效算法—ETF-DS-MG方法 ·473· 5数值例子 表12种算法运行时间比较 Table 1 Comparison of two methmetics in running time 本节给出用ETF-FDS-MG方法解扩散 算法 g行/S 误差lv-ul。 方程的例子，并比较FE-MG和ETF-FDS-MG2 ETF-FDS-MG 63.05 1.2847×10+ 种算法的效果，都用二重网格V(0,I)循环；Jaco- FE-MG 1008 5.38×102 bi光滑迭代取精度ε=105，且用了加速技术. 之间的关系图；ETF-FDS-MG解、时间轴、空间 考虑如下方程： 轴之间的三维立体图（图2；图3给出0.02时 器-29+器》0e021*02]*p,T FE-MG算法残余量模(1g(lr‖)、误差模（‖ xy,0=sin(x/2)sin(y/2)(xy)e[0,2]×[0,2] v-ule)与迭代次数之间的关系图；图4为FE 表1是2种算法在t0.02(x0.0002,h-0.1) MG解、时间轴、空间轴之间的三维立体图 时，运行(CPU)时间及误差表 由此可见，ETF-FDS-MG比FE-MG效果 图1给出O.02时用ETF-FDS-MG算法残 好，速度快，误差小 余量模(lg(lr.)》、误差模（‖v-u‖。）与迭代次数 (a) 61 ② -8 0.5 ETF-FDS-MG 2 ETF-FDS-MG -9 10 0 1.5 2 00 选代 1.5t代 图1运行时间和残余量模及误差模关系 图2ETF-FDS-MG三维图 -6 FE-MG 4 (a) FE-MG (b) (= 6 0.054 8 -10 0 10 20 30 0 1020 00 n选代 n法代 图3运行时间和残余量模及误差模关系 图4FE-MG三维图 参考文献 4 Zhang J.Residual Scaling Techniques in Multigrid I: 1蔚喜军.线性抛物型方程的多重网格法。计算数学， Equivalence Proof.Appl Math Comput,1997,86:283 1996(3):241 5 Zhang J.Residual Scaling Techniques in Multigrid II: 2 Chawl A M,AL-Zanaidi M A.An Extended Trapezoidal Practical Aplications.Appl Math Comput,1998,90:229 Formula for The Diffusion Equation.Computers and 6胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法.北京：科学出版 Mathematics with Applications,1999,38:51 社，1999 3 Jacques I.B.Extended One-step Method for the Numeri- 7 Xu Jinchao.Theory of multilevel methods:([Thesis of Ph. cal Solution of Ordinary Differential Equations.Intem J D].Pennsylvania:The Pennsylvania State University,1989 Computer Math,1989,29:247 An Efficient Algorithm for Two-Dimension Heat-conduction Equation ETF-FDS-MG DUAN Yali,ZHANG Xiaodan Applied Science School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT An efficient algorithm is devised and analyzed for Two-Dimension Heat-conduction equation. It is proved that the ETF-FDS-MG(Extended Trapezoidal Formula Finite Difference Scheme Multigrid )meth- od is third-order in time,two-order in space,unconditionally stable and high order convergent.Numerical example confirms the ETF-FDS-MG method is superior to the FE-MG(Finite Element Multigrid)method. KEY WORDS heat-conduction equation;ETF-FDS-MG;FE-MG

V bL 23 N o . 5 段 雅 丽等 : 一种 求解 二维热 传 导方程 的高 效算 法— ETF 一 FD S一M G 方法 . 4 73 . 5 数值例子 本节 给出用 ET F一 D S -]叭 G 方法解 扩散 方程 的 例子 , 并 比较 F E - M G 和 E T F - F D S es M G Z 种算法的效果 , 都用 二重网 格 V( O , 1卜循环 ; J a c 。 - ib 光 滑迭代 取精度E = 10 一5 , 且 用 了加速技 术 `4,5 , . 考虑如下方 程 : 表 1 2 种算法运 行 时间 比较 aT b l e 1 C o m P a r i s o n o f wt o m e th口 e t i e , in r u二 in g n . e 算 法 E T F一 FD S一 M G F E一 M G 坛行 八 6 3 . 0 5 10 0 8 误差 }} v 一 ul . 1 . 28 4 7 x l 0 4 5 . 3 8 K 10 二 鲁 一 号嚼 ~ 会 , x( , , ` , E〔o , 2 , ` 〔“ , 2 , ` 【。 , T , u x( 少 , 0 ) = s in (狱 /2 ) s i n (卿/2 ) x( 少)任 [ 0 , 2 ] x [ 0 , 2 ] 表 1 是 2 种算法 在 护 0 . 02 (厂 0 . 0 0 02 , h=0 . 1) 时 , 运行 ( CUP )时间及误差表 . 图 1 给 出卜0 . 02 时用 E T F 一F D S - M G 算法 残 余量模 ( 19 ( }} r }} 二 )) 、 误差模( }卜一 u }} . )与迭代 次数 之间 的关 系图 ; E T F干 D S - M G 解 、 时间轴 、 空 间 轴之间 的三维 立体 图( 图 2) ;图 3 给 出 卜0 .0 2 时 FB M G 算法残余 量模 ( 19 ( } r {} 二 ) ) 、 误差模 ( }} v 一 ulI 二 ) 与迭 代次数之 间的关系图 ; 图 4 为 F E￾M G 解 、 时间 轴 、 空 间轴之 间的三维立 体 图 . 由此 可见 , E T F一 F D S一M G 比 F-E M G 效果 好 , 速度快 , 误 差小 . 0 ,` , 流长 一之nl ( b ) 0 . 5 , } E “ 一 F D, 一 MG 0 ” n 透 代 月迭代 图 1 运行 时 间和残 余 t 模 及误 差模 关 系 书-789 ǎ ! 一` à一如 图 Z E T F一 F D S一 M G 三维图 F E es M G (b) 、 一 \ . 一圣 胃! 一 、 摆又 -l0碑巧名 “ ’ ǎ 。 一乏à一的 10 2 0 3 0 n 透代 n 迭代 图 3 运 行时 间和 残余 一模及误 差模关 系 图 4 F E一 M G 三 维图 参 考 文 献 4 z h an g J . eR s i dau l s e a li n g eT e hn i q u e s i n M u l t ig i d I : l 蔚喜军 . 线 性抛 物型 方程 的多重 网格 法 . 计算数 学 , E q u i v a l e n c e p r o .f A p pl M a ht C o m p u t , 19 9 7 , 8 6 : 2 8 3 1 9 96 ( 3 ) : 2 4 1 5 hZ an g J . R e s i d u a l s e a l i n g eT c hn i q u e s i n M u l t ihg d 11 : 2 C h aw l A M , A L 一an a id i M A . A n E x t e n d e d rT a p e oz id a l p ar c t i c al A p li c at i o n s · A p p l M at h c o m p ut , 19 9 8 , 9 0 : 2 2 9 oF ~ la for hT e iD 而iso n qE uat io n . co m uP et sr an d 6 胡健 伟 , 汤 怀 民 · 微分 方程 数值方法 . 北京 : 科 学 出版 M hat em at i e s w i ht ^ 即一i e at i o ns , 19 9 9 , 3 5 : 5 一 社 , 19 9 9 3 J ac q u e s l · B . E x t e n d e d on e 一 s t叩 M汕 o d 凡r 山e N um e ir 一 7 x u j i n c h a o · hT e o口 o f m u l t il e v e l m e ht o d s : [仆 e s i s o f Ph . c a l s o l u t i o n o f o dr i n脚 D i fe er n ti a l E q u at i o n s . I n te m J D ] · p e n s y l v an i a : hT e p e n 卿I v an i a s at te U n i v e sr i饥 1 98 9 C o m P u et r M aht , 19 89 , 2 9 : 2 4 7 A n E m e i e n t A l g o r it h m fo r T w o 一 D i m e n s i o n H e a t 一 c o n d u c it o n E q u a it o n E T F 一 F D S 一 M G D 之J/ 建N aY il, Z祛 4 N G iX a o da n A p li e d S e i e n e e S e h o l , U S T B e ij ign , B e ij in g 10 00 8 3 , C h in a A B S T R A C T nA e if e i e nt a l g o ir thj m 1 5 d e v i s e d an d an a l y z e d of r wT o 一 D 如 e n s i o n H e at 一 e on d u e t i o n e q 切欲ion . It 1 5 Por v e d ht at ht e E T F 一 F D S 一 M G (E x t e n d e d rT a P e z o ida l F o rm u l a F in ite D i fe re n e e S e h e m e M ult i gh d ) m e ht - o d 1 5 ht idr 一 o r d e r in t而 e , wt o 一 o r d e r in s P a e e , ucn o n d iit o n a lly s at b l e an d h ihg o dr e r e o n v e 飞e nt . N um e ir e a l e x 田爪P l e c o ifn mr s het ET F 一 FD S 一 M G m het o d 1 5 s uP e r i o r ot ht e F E 一 M G (F i n it e E l e m e in M u lt i igr d ) m e ht o d . K E Y WO R D S h e at 一 e o n d u e t i o n e q u a t i o n : E TF 一 F D S 一 M G : F E 一 M G