功能梯度材料零件层片路径扫描算法

D0:10.13374.issn1001-053x.2011.11.006 第33卷第11期 北京科技大学学报 Vol.33 No.11 2011年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov.2011 功能梯度材料零件层片路径扫描算法 王素四王彦 高 峰 北京航空航天大学交通科学与工程学院，北京100191 ☒通信作者，E-mail:wangsu.2000@buaa.c山.cn 摘要提出了一种用于加工功能梯度材料零件的路径扫描算法.首先将功能梯度材料零件进行分层处理，把每一层片内连 续分布的材料离散为若干个材料均匀分布的子区域，再对每个子区域分别加工从而实现一定精度要求下功能梯度材料零件 的加工制造.给出了路径规划实例，验证了路径扫描算法的正确性 关键词功能梯度材料：快速原型制造：数据格式：路径扫描 分类号TP391.7 Algorithm of slice path planning for functionally gradient material objects WANG Su,WANG Yan,GAO Feng School of Transportation Science and Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China Corresponding author,E-mail:wangsu2000@buaa.edu.cn ABSTRACT A path-scanning algorithm was proposed for processing functionally gradient materials (FGM).The algorithm first slices the functionally gradient materials and disperses each continuous material distribution layer to numbers of sub-regions with a uni- form distribution material.After processing each sub-region separately,the process of FGM objects meeting the accuracy requirements was obtained.An actual example of path planning was presented and the algorithm's validity was verified. KEY WORDS functionally graded materials;rapid prototyping manufacturing:data format:path scanning 功能梯度材料作为一种新型的非均质材料，其 的不同实时更新材料配比.国内外的研究对于均质 内部由连续变化的两种或两种以上材料构成，故拥 零件层片路径扫描算法己较为成熟完善6-)，而对 有单质材料所不具备的特殊性能，同时也克服了传 于非均质零件的层片加工还没有具体完善的解决办 统复合材料由于不同相之间的材料突变引起的应力 法.FGM零件路径扫描算法与FGM零件几何信息、 集中和性能不稳定等缺陷.这一优势使其在航 材料信息的表述方法即建模方法戚戚相关.有学者 空航天高性能产品设计与制造中拥有广泛的应用. 基于FGM零件体素模型，提取材料成分等值面为加 由于功能梯度材料(functionally gradient materi-- 工曲面，提出按照曲面分层方法制造FGM零件，而 ls,FGM)零件内部材料分布的不均匀性和复杂性， 曲面分层也必然造成加工的困难.对于较复杂的情 传统的零件制造技术已不能满足要求.快速原型制 况，如一张曲面被另一张材料值不同的曲面完全封 造技术使直接制造FGM零件成为可能B.路径扫 闭时，被封闭曲面使用快速原型(rapid prototype, 描任务是快速原型制造过程中关键步骤，在对零件 P)设备将难以进行加工圆.本文以平面分层为出 分层处理后用以确定每一层片的激光光斑或喷头的 发点，平面分层剔除了材料分布复杂造成的负面影 扫描路径，也就是指合理的安排加工设备工作头的 响，对以材料分布任意复杂的对象都划分为一系列 个数以及它们各自在每个切层中的轮廓扫描以及运 相互独立无交叉的切片层.同时基于有限元的FGM 动路线等.目前的快速原型设备还无法实现连续变 零件建模方法回，在获取精确层片信息的基础上， 化的材料层片加工，设备无法根据层片上材料成分 提出一种新型的路径扫描算法.通过用户指定的材 收稿日期：2010-12-24 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60773154)

第 33 卷 第 11 期 2011 年 11 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 33 No． 11 Nov． 2011 功能梯度材料零件层片路径扫描算法 王 素 王 彦 高 峰 北京航空航天大学交通科学与工程学院，北京 100191 通信作者，E-mail: wangsu2000@ buaa． edu． cn 摘 要 提出了一种用于加工功能梯度材料零件的路径扫描算法． 首先将功能梯度材料零件进行分层处理，把每一层片内连 续分布的材料离散为若干个材料均匀分布的子区域，再对每个子区域分别加工从而实现一定精度要求下功能梯度材料零件 的加工制造． 给出了路径规划实例，验证了路径扫描算法的正确性． 关键词 功能梯度材料; 快速原型制造; 数据格式; 路径扫描 分类号 TP391. 7 Algorithm of slice path planning for functionally gradient material objects WANG Su ，WANG Yan，GAO Feng School of Transportation Science and Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China Corresponding author，E-mail: wangsu2000@ buaa． edu． cn ABSTRACT A path-scanning algorithm was proposed for processing functionally gradient materials ( FGM) ． The algorithm first slices the functionally gradient materials and disperses each continuous material distribution layer to numbers of sub-regions with a uni￾form distribution material． After processing each sub-region separately，the process of FGM objects meeting the accuracy requirements was obtained． An actual example of path planning was presented and the algorithm’s validity was verified． KEY WORDS functionally graded materials; rapid prototyping manufacturing; data format; path scanning 收稿日期: 2010--12--24 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 60773154) 功能梯度材料作为一种新型的非均质材料，其 内部由连续变化的两种或两种以上材料构成，故拥 有单质材料所不具备的特殊性能，同时也克服了传 统复合材料由于不同相之间的材料突变引起的应力 集中和性能不稳定等缺陷［1--2］． 这一优势使其在航 空航天高性能产品设计与制造中拥有广泛的应用． 由于功能梯度材料( functionally gradient materi￾als，FGM) 零件内部材料分布的不均匀性和复杂性， 传统的零件制造技术已不能满足要求． 快速原型制 造技术使直接制造 FGM 零件成为可能［3--5］． 路径扫 描任务是快速原型制造过程中关键步骤，在对零件 分层处理后用以确定每一层片的激光光斑或喷头的 扫描路径，也就是指合理的安排加工设备工作头的 个数以及它们各自在每个切层中的轮廓扫描以及运 动路线等． 目前的快速原型设备还无法实现连续变 化的材料层片加工，设备无法根据层片上材料成分 的不同实时更新材料配比． 国内外的研究对于均质 零件层片路径扫描算法已较为成熟完善［6--7］，而对 于非均质零件的层片加工还没有具体完善的解决办 法． FGM 零件路径扫描算法与 FGM 零件几何信息、 材料信息的表述方法即建模方法戚戚相关． 有学者 基于 FGM 零件体素模型，提取材料成分等值面为加 工曲面，提出按照曲面分层方法制造 FGM 零件，而 曲面分层也必然造成加工的困难． 对于较复杂的情 况，如一张曲面被另一张材料值不同的曲面完全封 闭时，被封闭曲面使用快速原型( rapid prototype， RP) 设备将难以进行加工［8］． 本文以平面分层为出 发点，平面分层剔除了材料分布复杂造成的负面影 响，对以材料分布任意复杂的对象都划分为一系列 相互独立无交叉的切片层． 同时基于有限元的 FGM 零件建模方法［9］，在获取精确层片信息的基础上， 提出一种新型的路径扫描算法． 通过用户指定的材 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2011.11.006

第11期 王素等：功能梯度材料零件层片路径扫描算法 ·1407· 料精度要求与材料分布函数进行层片内材料分布的 离散，并将FGM层片分割成若干个满足材料精度要 求并可视为均匀材料的子区域，最后分别对各子区 域进行制造路径规划.新型的路径扫描算法满足了 非均质零件层片加工的要求，使现有RP设备加工 FGM零件得以实现 1功能梯度材料零件层片信息 进行层片路径扫描之前，首先需要得到FGM零 件层片的所有信息.鉴于FGM零件内部材料分布 的不均匀性，其切片后层片信息包括几何信息和材 料信息.层片几何信息即几何轮廓，是由分层平面 图1四面体单元与切平面相交情况.(a)相交于一点：(b)相 与实体边界四面体中处于外表面的三角面片的交线 交于一线段：(c),()相交区域为三角形：(e)相交区域为四 组成，即由若干线段包围而成，求出分层平面与外表 边形 面三角面片的交线，然后将首尾相连排序，即得到层 Fig.I Intersections between the tetrahedral cell and the tangent 片轮廓.根据所要采用的材料堆积策略（自顶向下 plane:(a)intersects at one point:(b)intersects at a line seg- ment:(c),(d)the intersecting area is a triangle:(e)the inter- 或自底向上)的不同，提取层片上截面或下截面轮 secting area is a quadrilateral plane 廓信息作为层片数据. 层片材料信息的提取较为复杂.首先将四面体 2FGM零件层片材料离散化分布 与切平面的相交分为相交于点、线、三角形和四边形 层片内连续变化的材料离散化处理不可避免的 四种情况，如图1所示.按照维数高低，从低维度几 带来制造误差，故需设定材料误差限值△作为控制 何元素开始，四面体依次与分层平面相交.对于零 材料梯度离散精度的参数@，用户指定任意材料精 维元素，即四面体网格节点，直接根据其坐标Z值 度以制造FGM零件.材料误差限值△，定义为层片 与切平面是否相同判断是否相交，若相交则记录节 内任意两个相邻子区域之间材料体积分数之差的最 点的坐标值和其材料成分；对于一维元素边线，可根 大允许值.△，由用户指定的各种基本材料组分的最 据两个端点相对分层平面的位置来判定边与切平面 大允许误差（体积分数）A,与快速原型设备可以加 的关系，交点处的坐标值和材料成分通过插值得到： 工的各种基本材料组分的最小分辨率（体积分数） 对于二维几何元素三角面，则根据其边界元素，即 △ipt比较获得，取两者较大值： 点、边与分层平面的相交情况计算相应的相交结果 △，=max(Ar,△cqipmemt） (1) 如果三角面片与分层平面相交于一条线段，则记录 确定材料误差限值△.后，可计算层片子区域数 线段的两个端点坐标值和材料成分.如果三角面片 目k: 在分层平面上，则记录其三个项点的坐标值和材料 =以]1 (2) 成分.根据各几何元素的拓扑关系，确定位于同一 个四面体上的交点、交线或交面，从而得到分层平面 根据△的值，层片内部连续变化的材料可以离 与各个四面体的相交区域.从整个层面的角度看， 散成分段的均匀分布形式，每一个子区域内的材料 单个四面体网格和切平面相交得到点、线和面，最后 函数值由下式获得： 合并成为一系列三角面片和四边形面片.对于每个 0, 0≤f<4,/2 面片只记录顶点处的材料成分，如三角面片只记录 i"△.， (i-1/2)△.≤f<(i+1/2)4. (3) 三个项点的材料成分，四边形面片只记录四个顶点 其中i=1,2,…,k-2 的材料成分，区域内部各点的材料成分使用插值得 1, (k-2+1/2)△，≤f<1 到.一般为了得到较高的几何精度，四面体网格划 离散后的分段函数与原始材料分布函数之间的 分很小，同时考虑到实际加工时的机械精度，在计算 最大误差为e=4/2. 区域内部各点的材料成分时，只需线性插值.最后， 得到了各个相交区域的材料分布情况，从宏观上就 3 层片子区域划分 得到了当前切片层的材料分布情况 FGM零件层片由大量三角面片和四边形面片

第 11 期 王 素等: 功能梯度材料零件层片路径扫描算法 料精度要求与材料分布函数进行层片内材料分布的 离散，并将 FGM 层片分割成若干个满足材料精度要 求并可视为均匀材料的子区域，最后分别对各子区 域进行制造路径规划． 新型的路径扫描算法满足了 非均质零件层片加工的要求，使现有 RP 设备加工 FGM 零件得以实现． 1 功能梯度材料零件层片信息 进行层片路径扫描之前，首先需要得到 FGM 零 件层片的所有信息． 鉴于 FGM 零件内部材料分布 的不均匀性，其切片后层片信息包括几何信息和材 料信息． 层片几何信息即几何轮廓，是由分层平面 与实体边界四面体中处于外表面的三角面片的交线 组成，即由若干线段包围而成，求出分层平面与外表 面三角面片的交线，然后将首尾相连排序，即得到层 片轮廓． 根据所要采用的材料堆积策略( 自顶向下 或自底向上) 的不同，提取层片上截面或下截面轮 廓信息作为层片数据． 层片材料信息的提取较为复杂． 首先将四面体 与切平面的相交分为相交于点、线、三角形和四边形 四种情况，如图 1 所示． 按照维数高低，从低维度几 何元素开始，四面体依次与分层平面相交． 对于零 维元素，即四面体网格节点，直接根据其坐标 Z 值 与切平面是否相同判断是否相交，若相交则记录节 点的坐标值和其材料成分; 对于一维元素边线，可根 据两个端点相对分层平面的位置来判定边与切平面 的关系，交点处的坐标值和材料成分通过插值得到; 对于二维几何元素三角面，则根据其边界元素，即 点、边与分层平面的相交情况计算相应的相交结果． 如果三角面片与分层平面相交于一条线段，则记录 线段的两个端点坐标值和材料成分． 如果三角面片 在分层平面上，则记录其三个顶点的坐标值和材料 成分． 根据各几何元素的拓扑关系，确定位于同一 个四面体上的交点、交线或交面，从而得到分层平面 与各个四面体的相交区域． 从整个层面的角度看， 单个四面体网格和切平面相交得到点、线和面，最后 合并成为一系列三角面片和四边形面片． 对于每个 面片只记录顶点处的材料成分，如三角面片只记录 三个顶点的材料成分，四边形面片只记录四个顶点 的材料成分，区域内部各点的材料成分使用插值得 到． 一般为了得到较高的几何精度，四面体网格划 分很小，同时考虑到实际加工时的机械精度，在计算 区域内部各点的材料成分时，只需线性插值． 最后， 得到了各个相交区域的材料分布情况，从宏观上就 得到了当前切片层的材料分布情况． 图 1 四面体单元与切平面相交情况． ( a) 相交于一点; ( b) 相 交于一线段; ( c) ，( d) 相交区域为三角形; ( e) 相交区域为四 边形 Fig． 1 Intersections between the tetrahedral cell and the tangent plane: ( a) intersects at one point; ( b) intersects at a line seg￾ment; ( c) ，( d) the intersecting area is a triangle; ( e) the inter￾secting area is a quadrilateral plane 2 FGM 零件层片材料离散化分布 层片内连续变化的材料离散化处理不可避免的 带来制造误差，故需设定材料误差限值 Δv作为控制 材料梯度离散精度的参数［10］，用户指定任意材料精 度以制造 FGM 零件． 材料误差限值 Δv定义为层片 内任意两个相邻子区域之间材料体积分数之差的最 大允许值． Δv由用户指定的各种基本材料组分的最 大允许误差( 体积分数) Δvusr与快速原型设备可以加 工的各种基本材料组分的最小分辨率( 体积分数) Δvequipment比较获得，取两者较大值: Δv = max( Δvusr，Δvequipment ) ( 1) 确定材料误差限值 Δv后，可计算层片子区域数 目 k: k = [ 1 Δ ] v + 1 ( 2) 根据 Δv的值，层片内部连续变化的材料可以离 散成分段的均匀分布形式，每一个子区域内的材料 函数值由下式获得: f = 0， 0≤f ＜ Δv /2 i·Δv， ( i － 1 /2) Δv≤f ＜ ( i + 1 /2) Δv 其中 i = 1，2，…，k － 2 1， ( k － 2 + 1 /2) Δv≤f        ＜ 1 ( 3) 离散后的分段函数与原始材料分布函数之间的 最大误差为 ε = Δv /2． 3 层片子区域划分 FGM 零件层片由大量三角面片和四边形面片 ·1407·

·1408· 北京科技大学学报 第33卷 组成.层片的材料信息由节点的材料信息和三角面 域内材料均匀分布，材料函数由分段函数定义.区 片与四边形面片拓扑信息共同表述 域间材料误差不超过△· 层片子区域的划分分为两个步骤：第一，判断层 4子区域路径扫描 片上节点材料信息，将所有节点规划到各子区域中； 第二，判断除节点外的任意点所属区域，即寻找各区 要构建出完整的分层平面，还需对每个子区域 域间的边界线. 进行扫描路径的规划.层片子区域分割后，每一个 步骤一解决方法是：将各个节点材料信息（材 多材料子区域可以视为由多种基本材料按一定体积 料的体积分数)与子区域材料科函数式(3)比较，即可 比混合而成的均匀材料区域.因此，各子区域的路 知任意节点所属子区域，在此基础上，区域间分界线 径规划可以按照均匀材料路径规划方法进行 也较易获知：步骤二解决方法是：当两相邻顶点分属 路径规划任务包括选择路径类型、确定路径坐 于不同区域，则通过插值计算，得到应为边界上的 标以及路径宽度等.在确定路径坐标之前必须首先 点，插值可采用线性插值.连接所有边界点，即得到 选择路径类型（层片的材料填充方式），大多数快速 层片各个子区域。至此，当材料误差限值被确定后， 成型过程所采用的路径类型主要有两类：光栅式和 包含材料连续梯度分布的层片最终被离散为若干均 轮廓线式.光栅式路径为一系列与某一方向平行的 匀材料组分且具有一定形状材料边界的区域. 具有一定间距（路径宽度）的平行扫描线：轮廓线式 例如，△，=0.5时，层片被划分为三部分(k= 中所有路径与层片的轮廓线平行，由轮廓线外环向 (1/△，+1)，每个子区域的材料函数值为 内偏移或内环向外偏移得到 0, 0≤f<0.25 需要注意的是，由于层片进行子区域分割以后， f=0.5,0.25≤f<0.75 (4) 考虑到每一个子区域的宽度都很小，通常只有整个 1, 0.75≤f<1 层片宽度的几分之一到几十分之一.如果采用光栅 此时，材料梯度层片的子区域分割见图2. 类型的路径，会造成扫描路径包含大量很短的线段 以及转折点，内部线段越多，激光头或者喷头启停次 数就越多，由于加减速的原因，加工速度也会被限制 在较低水平，同时机械设备的使用寿命也受到直接 影响.因此，在层片各个子区域轮廓狭小的情形下， 图2功能梯度材料层片的子区域分割 选择轮廓线型扫描方式要比光栅型扫描方式好，因 Fig.2 Segmentation layer of functionally graded materials 为减少了激光头或者喷头运动的转折或开关次数， 有利于提高加工效率，降低设备损耗. 例如，A,=0.2时，层片被划分为六部分，每个 所有子区域轮廓都由许许多多的小线段连接构 子区域的材料函数值为 成，即轮廓都是平面多边形.轮廓线形扫描方法就 0.0,0≤f<0.1 是对轮廓多边形的偏置运算 0.2, 0.1≤f<0.3 4.1轮廓多边形偏置运算 0.4,0.3≤f<0.5 f= (5) 由于激光光斑或喷头加工面积的影响，必须使 0.6, 0.5≤f<0.7 截面外轮廓向内偏置0.5线宽，而内轮廓向外偏置 0.8,0.7≤f<0.9 0.5线宽.偏置原理是将原截面轮廓多边形中的每 1.0, 0.9≤f<1 一条折线按其自身垂线方向平行向内（外）收缩 此时，材料梯度层片的子区域分割见图3. (放大)一定距离，然后计算所有平行偏置线的交 点，并且按照规定顺序存入偏置轮廓线的交点数 组中，从而得到原截面轮廓线偏置后的截面轮廓 线1-切.由于截面轮廓的多样复杂性，要求采用 图3材料梯度层片的子区域分割 的图形放缩算法应该具有一般通用性.轮廓多边 Fig.3 Segmentation layer of functionally graded materials 形的偏置运算分为以下五个步骤：计算激光头或 喷头运动方向矢量，计算激光头或喷头矢量半径， 由图2和图3可知，当指定不同材料误差限值 计算直线的等距线方程，计算偏置点坐标以及最 △时，层片区域可按照相应精度划分.划分后各区 终获得偏置轮廓

北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 组成． 层片的材料信息由节点的材料信息和三角面 片与四边形面片拓扑信息共同表述． 层片子区域的划分分为两个步骤: 第一，判断层 片上节点材料信息，将所有节点规划到各子区域中; 第二，判断除节点外的任意点所属区域，即寻找各区 域间的边界线． 步骤一解决方法是: 将各个节点材料信息( 材 料的体积分数) 与子区域材料函数式( 3) 比较，即可 知任意节点所属子区域，在此基础上，区域间分界线 也较易获知; 步骤二解决方法是: 当两相邻顶点分属 于不同区域，则通过插值计算，得到应为边界上的 点，插值可采用线性插值． 连接所有边界点，即得到 层片各个子区域． 至此，当材料误差限值被确定后， 包含材料连续梯度分布的层片最终被离散为若干均 匀材料组分且具有一定形状材料边界的区域． 例如，Δv = 0. 5 时，层片被划分为三部分( k = ( 1 /Δv + 1) ，每个子区域的材料函数值为 f = 0， 0≤f ＜ 0. 25 0. 5， 0. 25≤f ＜ 0. 75 1， 0. 75≤f { ＜ 1 ( 4) 此时，材料梯度层片的子区域分割见图 2． 图 2 功能梯度材料层片的子区域分割 Fig． 2 Segmentation layer of functionally graded materials 例如，Δv = 0. 2 时，层片被划分为六部分，每个 子区域的材料函数值为 f = 0. 0， 0≤f ＜ 0. 1 0. 2， 0. 1≤f ＜ 0. 3 0. 4， 0. 3≤f ＜ 0. 5 0. 6， 0. 5≤f ＜ 0. 7 0. 8， 0. 7≤f ＜ 0. 9 1. 0， 0. 9≤f          ＜ 1 ( 5) 此时，材料梯度层片的子区域分割见图 3． 图 3 材料梯度层片的子区域分割 Fig． 3 Segmentation layer of functionally graded materials 由图 2 和图 3 可知，当指定不同材料误差限值 Δv时，层片区域可按照相应精度划分． 划分后各区 域内材料均匀分布，材料函数由分段函数定义． 区 域间材料误差不超过 Δv ． 4 子区域路径扫描 要构建出完整的分层平面，还需对每个子区域 进行扫描路径的规划． 层片子区域分割后，每一个 多材料子区域可以视为由多种基本材料按一定体积 比混合而成的均匀材料区域． 因此，各子区域的路 径规划可以按照均匀材料路径规划方法进行． 路径规划任务包括选择路径类型、确定路径坐 标以及路径宽度等． 在确定路径坐标之前必须首先 选择路径类型( 层片的材料填充方式) ，大多数快速 成型过程所采用的路径类型主要有两类: 光栅式和 轮廓线式． 光栅式路径为一系列与某一方向平行的 具有一定间距( 路径宽度) 的平行扫描线; 轮廓线式 中所有路径与层片的轮廓线平行，由轮廓线外环向 内偏移或内环向外偏移得到． 需要注意的是，由于层片进行子区域分割以后， 考虑到每一个子区域的宽度都很小，通常只有整个 层片宽度的几分之一到几十分之一． 如果采用光栅 类型的路径，会造成扫描路径包含大量很短的线段 以及转折点，内部线段越多，激光头或者喷头启停次 数就越多，由于加减速的原因，加工速度也会被限制 在较低水平，同时机械设备的使用寿命也受到直接 影响． 因此，在层片各个子区域轮廓狭小的情形下， 选择轮廓线型扫描方式要比光栅型扫描方式好，因 为减少了激光头或者喷头运动的转折或开关次数， 有利于提高加工效率，降低设备损耗． 所有子区域轮廓都由许许多多的小线段连接构 成，即轮廓都是平面多边形． 轮廓线形扫描方法就 是对轮廓多边形的偏置运算． 4. 1 轮廓多边形偏置运算 由于激光光斑或喷头加工面积的影响，必须使 截面外轮廓向内偏置 0. 5 线宽，而内轮廓向外偏置 0. 5 线宽． 偏置原理是将原截面轮廓多边形中的每 一条折线按其自身垂线方向平行向内( 外) 收 缩 ( 放大) 一定距离，然后计算所有平行偏置线的交 点，并且按照规定顺序存入偏置轮廓线的交点数 组中，从而得到原截面轮廓线偏置后的截面轮廓 线［11--12］． 由于截面轮廓的多样复杂性，要求采用 的图形放缩算法应该具有一般通用性． 轮廓多边 形的偏置运算分为以下五个步骤: 计算激光头或 喷头运动方向矢量，计算激光头或喷头矢量半径， 计算直线的等距线方程，计算偏置点坐标以及最 终获得偏置轮廓． ·1408·

第11期 王素等：功能梯度材料零件层片路径扫描算法 ·1409· 4.1.1激光头或喷头运动方向矢量（简称方向矢 因为X+=1,所以XY-YX=d 量) 运动方向单位矢量是指与运动方向一致的单位 矢量，用1表示 直线：设起点为(X,Y),终点为(X2,Y),见图 4,则方向矢量为 X2-X X,= √X2-X)2+(Y2-Y) (6) Y-Y Y,= √(X2-X,)2+(Y2-Y)2 图6直线的等距线 Fig.6 Equidistant straight lines 4.1.4偏置点（等距线相交点）坐标计算 加工一个内侧(a>180°)一缩短型，如图7 所示，程编轨迹为直线L到L2,加工半径为d,单位 矢量和12为 [h =Xni+Yij (9) h =Xi+Yij 图4直线方向矢量 L和L分别为L,和L2的等距线，方程分别为 Fig.4 Vector direction of the line XY-YX=d (10) 4.1.2激光头或喷头矢量半径 (XY-YX=d 矢量半径是指加工过程中，始终垂直于路径扫 解方程(10)，得交点坐标为 描轨迹，且大小等于激光光斑或喷头加工半径值，方向 指向激光光斑或喷头中心的矢量（图5），用r表示 (11) Yn-Ynd Y=XiYn-YnXu 图5激光头或喷头矢量半径 Fig.5 Radius vector for the laser head or nozzle 在快速成形中，区域在轮廓的左侧，可以得出矢 量半径和方向矢量之间的关系为 [Xa=-dY (7) Y,=dx 图7直线偏置相交 Fig.7 Offset intersection of lines 式中，d为加工半径. 4.1.3直线的等距线方程 4.1.5得出偏置轮廓 如图6所示，设直线的单位方向矢量为1=Xi 将得到的偏置点按照原轮廓的排序方向存入新 +Yi.1'偏离1一个加工半径d.求出加工半径矢量 分配的轮廓数组空间，即可求出偏置轮廓.图8是 r=Xi+Yj,其中X=-dY,Y=dX,1的方程为 采用此算法求解偏置轮廓线的实例. (x+dY,),即 Y-dX:=X 4.2偏置路径的自相交处理 由于要多次偏置，因此需要递归调用偏置算法 X Y-Y X=dxi +dy (8) 一般来说，只需递归调用偏置算法，就可实现多层偏

第 11 期 王 素等: 功能梯度材料零件层片路径扫描算法 4. 1. 1 激光头或喷头运动方向矢量( 简称方向矢 量) 运动方向单位矢量是指与运动方向一致的单位 矢量，用 l 表示． 直线: 设起点为( X1，Y1 ) ，终点为( X2，Y2 ) ，见图 4，则方向矢量为 Xl = X2 － X1 ( X2 － X1 ) 2 + ( Y2 － Y1 槡 ) 2 Yl = Y2 － Y1 ( X2 － X1 ) 2 + ( Y2 － Y1 槡 )        2 ( 6) 图 4 直线方向矢量 Fig． 4 Vector direction of the line 4. 1. 2 激光头或喷头矢量半径 矢量半径是指加工过程中，始终垂直于路径扫 描轨迹，且大小等于激光光斑或喷头加工半径值，方向 指向激光光斑或喷头中心的矢量( 图5) ，用 r 表示． 图 5 激光头或喷头矢量半径 Fig． 5 Radius vector for the laser head or nozzle 在快速成形中，区域在轮廓的左侧，可以得出矢 量半径和方向矢量之间的关系为 Xd = － dYl {Yd = dXl ( 7) 式中，d 为加工半径． 4. 1. 3 直线的等距线方程 如图 6 所示，设直线的单位方向矢量为 l = Xl i + Yl j． l'偏离 l 一个加工半径 d． 求出加工半径矢量 r = Xd i + Yd j，其中 Xd = － dYl，Yd = dXl，l'的方程为 Y － dXl = Yl Xl ( X + dYl ) ，即 XlY － YlX = dX2 l + dY2 l ( 8) 因为 X2 l + Y2 l = 1，所以 XlY － YlX = d． 图 6 直线的等距线 Fig． 6 Equidistant straight lines 4. 1. 4 偏置点( 等距线相交点) 坐标计算 加工一个内侧( α ＞ 180° ) ———缩短型，如图 7 所示，程编轨迹为直线 L1 到 L2，加工半径为 d，单位 矢量 l1 和 l2 为 l1 = Xl1 i + Yl1 j l2 = Xl2 i + Yl2 { j ( 9) L' 1 和 L' 2 分别为 L1 和 L2 的等距线，方程分别为 Xl1 Y － Yl1 X = d Xl2 Y － Yl2 { X = d ( 10) 解方程( 10) ，得交点坐标为 X = Xl2 － Xl1 Xl1 Yl2 － Yl1 Xl2 d Y = Yl2 － Yl1 Xl1 Yl2 － Yl1 Xl2      d ( 11) 图 7 直线偏置相交 Fig． 7 Offset intersection of lines 4. 1. 5 得出偏置轮廓 将得到的偏置点按照原轮廓的排序方向存入新 分配的轮廓数组空间，即可求出偏置轮廓． 图 8 是 采用此算法求解偏置轮廓线的实例． 4. 2 偏置路径的自相交处理 由于要多次偏置，因此需要递归调用偏置算法． 一般来说，只需递归调用偏置算法，就可实现多层偏 ·1409·

·1410· 北京科技大学学报 第33卷 图9偏置环的异常情况.(a)环自交：(b)孤岛 Fig.9 Exceptional example of profile offset:(a)self-cross; (b)island 图8轮廓偏置实例.(a)外圆内三角形轮廓：(b)五角星轮廓 Fig.8 Example of profile offset:(a)profile of a triangle in a circle: (b)pentacle profile 置.在由外向内进行偏置的过程中，由于偏置尺寸 问题，在偏置计算中可能出现以下情况，如图9 所示. (1)环自交：由于偏置量过大，会出现新的封闭 环（自交环），如图9(a)所示，应去掉多余的封 图10自相交问题的处理方法 闭环 Fig.10 Method of dealing with the self-cross problem (2)孤岛：也是由于偏置量过大，从而会使一个 5功能梯度材料零件路径扫描实例 单一的封闭环变成两个或多个封闭环，如图9(b)所 示，应将这些封闭环都加入偏置环集中， 图11为FGM零件路径规划的实例.零件由两 这时可按如下方法处理：将偏置多边形定义为 种材料组成，材料分布的参考特征（梯度源）为内部 逆时针走向，则自相交产生的多边形是顺时针走向， 圆孔轴线，其材料分布函数如图11(a)所示.根据 这时将这部分顺时针走向的多边形剔除掉，留下逆 零件的材料分布函数可以得到零件的CAD三维实 时针走向的多边形作为外轮廓作后续处理，如图10 体模型，如图11()所示.在实体模型的基础上进 所示. 行网格划分，获得零件的三维网格模型11(c).由 10 A材料 0.6 04 B材料 20406080100 梯度源距离mm e 图11功能梯度材料零件的路径规划.(a)材料A、B的体积分数曲线：(b)三维实体模型：(c)三维网格模型：(d)切片层片模型：（©）层片 网格模型：()层片扫描路径 Fig.11 Scan path of FGM:(a)curves of volume fraction of materials A and B:(b)three-dimensional solid model:(c)three-dimensional mesh model:(d)slice layer model:(e)slice layer mesh model;(f)scan path of slice layers

北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 图 8 轮廓偏置实例． ( a) 外圆内三角形轮廓; ( b) 五角星轮廓 Fig． 8 Example of profile offset: ( a) profile of a triangle in a circle; ( b) pentacle profile 置． 在由外向内进行偏置的过程中，由于偏置尺寸 问题，在偏置计算中可能出现以下情况，如 图 9 所示． ( 1) 环自交: 由于偏置量过大，会出现新的封闭 环( 自 交 环) ，如 图 9 ( a) 所 示，应 去 掉 多 余 的 封 闭环． 图 11 功能梯度材料零件的路径规划． ( a) 材料 A、B 的体积分数曲线; ( b) 三维实体模型; ( c) 三维网格模型; ( d) 切片层片模型; ( e) 层片 网格模型; ( f) 层片扫描路径 Fig． 11 Scan path of FGM: ( a) curves of volume fraction of materials A and B; ( b) three-dimensional solid model; ( c) three-dimensional mesh model; ( d) slice layer model; ( e) slice layer mesh model; ( f) scan path of slice layers ( 2) 孤岛: 也是由于偏置量过大，从而会使一个 单一的封闭环变成两个或多个封闭环，如图 9( b) 所 示，应将这些封闭环都加入偏置环集中． 这时可按如下方法处理: 将偏置多边形定义为 逆时针走向，则自相交产生的多边形是顺时针走向， 这时将这部分顺时针走向的多边形剔除掉，留下逆 时针走向的多边形作为外轮廓作后续处理，如图 10 所示． 图 9 偏置环的异常情况． ( a) 环自交; ( b) 孤岛 Fig． 9 Exceptional example of profile offset: ( a) self-cross; ( b) island 图 10 自相交问题的处理方法 Fig． 10 Method of dealing with the self-cross problem 5 功能梯度材料零件路径扫描实例 图 11 为 FGM 零件路径规划的实例． 零件由两 种材料组成，材料分布的参考特征( 梯度源) 为内部 圆孔轴线，其材料分布函数如图 11( a) 所示． 根据 零件的材料分布函数可以得到零件的 CAD 三维实 体模型，如图 11( b) 所示． 在实体模型的基础上进 行网格划分，获得零件的三维网格模型 11( c) ． 由 ·1410·

第11期 王素等：功能梯度材料零件层片路径扫描算法 ·1411· 于零件内部材料分布沿着圆孔径向方向变化，所以 B3]Yan Y N,Li S J,Zhang R J,et al.Rapid prototyping and manu- 较好的加工方向应与零件圆孔轴向同向，分层后可 facturing technology:principle,representative technics,applica- tions,and development trends.Tsinghua Sci Technol,2009,14 得到零件的层片模型，图11(d)和(e)分别为物体 (Suppl 1)1 分层后的层片几何模型和网格模型. 4]Chiu W K,Yu K M.Direct digital manufacturing of three-dimen- 路径扫描步骤一，根据用户指定的材料误差限 sional functionally graded material objects.Comput Aided Des, 值△进行材料离散化分布.实例中取△.=13，根 2008,40(12):1080 据式(2)得到子区域数目为4，即将整个层片区域划 [5]Utela B,Storti D,Anderson R,et al.A review of process devel- 分为四个子区域.步骤二，子区域分.根据式 opment steps for new material systems in three dimensional printing (3DP).J Manuf Processes,2008,10 (2)96 (3),分别得到各材料在四个子区域内的体积分数. [6] Huang X M,Niu Z W,Dong X J.An algorithm of sub-regional 参照层片数据文件，将所有节点的材料信息规划到 scanning path generation for rapid prototyping manufacturing. 各子区域中，判断节点间任意点所属区域.这一过 Mach Des Res,2007,23(1):80 程是根据层片上任意点的材料值对层片网格的再划 (黄雪梅，牛宗伟，董小娟.快速成型技术中的分区扫描路径 分，获得材料均匀分布的四个子区域.步骤三，对各 产生算法.机械设计与研究，2007,23(1)：80) 7]Zhao J B,Liu W J,Bian H Y,et al.Optimization method of 个子区域进行路径扫描，扫描方法采用轮廓偏置扫 scanning direction for rapid prototyping.Comput Integr Manuf 描法.各子区域所生成的扫描路径见图11().实 Sst,2006,12(12):2044 际加工过程中，每一子区域路径扫描之后需要改变 (赵吉宾，刘伟军，卞宏友，等.快速成形制造中扫描方向的 快速原型设备材料配比，才能进行下一子区域路径 优化方法研究.计算机集成制造系统，2006,12(12)：2044) 扫描，循环此过程直至整个层片扫描完毕. 8] Hu B Y,Zhang H O,Wang G L,et al.Layered modeling algo- rithm for free surfaces of parts from FGM.J Huazhong Univ Sci 6结论 Technol Nat Sci Ed,2009,37(12):104 (胡帮友，张海鸣，王桂兰，等.梯度功能材料零件自由曲面 对于FGM零件，其路径扫描方式的选择决定了 分层建模方法.华中科技大学学报：自然科学版，2009,37 零件最终的成型质量.在现有快速原型设备无法加 (12):104) 工材料呈连续梯度分布的零件情况下，本文提出一 ] Wang S,Chen N F,Chen C S,et al.Finite element-based ap- proach to modeling heterogeneous objects.Finite Elem Anal Des, 种路径扫描算法，首先将功能梯度材料零件层片内 2009,45(8/9):592 连续变化的材料做离散处理，划分为若干个材料均 [10]Wu H,Sachs E,Patrikalakis N,et al.Distributed design and 匀分布的子区域，再对每个子区域分别加工，从面实 fabrication of parts with local composition control//Proceedings of 现满足加工精度要求的FGM零件层片制造，为具有 the 2000 NSF Design and Manufacturing Grantees Conference. 复杂性能材料零件的直接制造探索一条新路。 Vancouver,2000:123 [11]Liu D Y.Study and Realization of Data Processing Softcare for Rapid Prototyping Processes [Dissertation].Xiamen:Huaqiao 参考文献 University,2000 [Liu J,Li Y M,Huang B Z.Analysis of damaging failure of com- (刘道远.快速成形中数据处理软件的研究与实现[学位论 posite laminates.J Northeast Unig Nat Sci,2006,27(1):76 文].厦门：华侨大学，2000) (刘军，李英梅，黄宝宗.复合材料层板损伤失效分析.东北 [12] Zhang M.Study on Generation and Optimization for Scanning 大学学报：自然科学版，2006,27(1)：76) Path in RP [Dissertation].Xi'an:Xi'an University of Science 2]Shao X J,Yue Z F.Damage simulation of repaired composite lam- and Technology.2006 inate with rectangular cut-out.Theor Appl Fract Mech,2007,48 (张曼.P中扫描路径的生成与优化研究[学位论文].西 (1):82 安：西安科技大学，2006)

第 11 期 王 素等: 功能梯度材料零件层片路径扫描算法 于零件内部材料分布沿着圆孔径向方向变化，所以 较好的加工方向应与零件圆孔轴向同向，分层后可 得到零件的层片模型，图 11( d) 和( e) 分别为物体 分层后的层片几何模型和网格模型． 路径扫描步骤一，根据用户指定的材料误差限 值 Δv进行材料离散化分布． 实例中取 Δv = 1 /3，根 据式( 2) 得到子区域数目为 4，即将整个层片区域划 分为四个 子 区 域． 步 骤 二，子 区 域 划 分． 根 据 式 ( 3) ，分别得到各材料在四个子区域内的体积分数． 参照层片数据文件，将所有节点的材料信息规划到 各子区域中，判断节点间任意点所属区域． 这一过 程是根据层片上任意点的材料值对层片网格的再划 分，获得材料均匀分布的四个子区域． 步骤三，对各 个子区域进行路径扫描，扫描方法采用轮廓偏置扫 描法． 各子区域所生成的扫描路径见图 11( f) ． 实 际加工过程中，每一子区域路径扫描之后需要改变 快速原型设备材料配比，才能进行下一子区域路径 扫描，循环此过程直至整个层片扫描完毕． 6 结论 对于 FGM 零件，其路径扫描方式的选择决定了 零件最终的成型质量． 在现有快速原型设备无法加 工材料呈连续梯度分布的零件情况下，本文提出一 种路径扫描算法，首先将功能梯度材料零件层片内 连续变化的材料做离散处理，划分为若干个材料均 匀分布的子区域，再对每个子区域分别加工，从面实 现满足加工精度要求的 FGM 零件层片制造，为具有 复杂性能材料零件的直接制造探索一条新路． 参 考 文 献 ［1］ Liu J，Li Y M，Huang B Z． Analysis of damaging failure of com￾posite laminates． J Northeast Univ Nat Sci，2006，27( 1) : 76 ( 刘军，李英梅，黄宝宗． 复合材料层板损伤失效分析． 东北 大学学报: 自然科学版，2006，27( 1) : 76) ［2］ Shao X J，Yue Z F． Damage simulation of repaired composite lam￾inate with rectangular cut-out． Theor Appl Fract Mech，2007，48 ( 1) : 82 ［3］ Yan Y N，Li S J，Zhang R J，et al． Rapid prototyping and manu￾facturing technology: principle，representative technics，applica￾tions，and development trends． Tsinghua Sci Technol，2009，14 ( Suppl 1) : 1 ［4］ Chiu W K，Yu K M． Direct digital manufacturing of three-dimen￾sional functionally graded material objects． Comput Aided Des， 2008，40( 12) : 1080 ［5］ Utela B，Storti D，Anderson R，et al． A review of process devel￾opment steps for new material systems in three dimensional printing ( 3DP) ． J Manuf Processes，2008，10( 2) : 96 ［6］ Huang X M，Niu Z W，Dong X J． An algorithm of sub-regional scanning path generation for rapid prototyping manufacturing． Mach Des Res，2007，23( 1) : 80 ( 黄雪梅，牛宗伟，董小娟． 快速成型技术中的分区扫描路径 产生算法． 机械设计与研究，2007，23( 1) : 80) ［7］ Zhao J B，Liu W J，Bian H Y，et al． Optimization method of scanning direction for rapid prototyping． Comput Integr Manuf Syst，2006，12( 12) : 2044 ( 赵吉宾，刘伟军，卞宏友，等． 快速成形制造中扫描方向的 优化方法研究． 计算机集成制造系统，2006，12( 12) : 2044) ［8］ Hu B Y，Zhang H O，Wang G L，et al． Layered modeling algo￾rithm for free surfaces of parts from FGM． J Huazhong Univ Sci Technol Nat Sci Ed，2009，37( 12) : 104 ( 胡帮友，张海鸥，王桂兰，等． 梯度功能材料零件自由曲面 分层建模方法． 华中科技大学学报: 自然科学版，2009，37 ( 12) : 104) ［9］ Wang S，Chen N F，Chen C S，et al． Finite element-based ap￾proach to modeling heterogeneous objects． Finite Elem Anal Des， 2009，45( 8 /9) : 592 ［10］ Wu H，Sachs E，Patrikalakis N，et al． Distributed design and fabrication of parts with local composition control / /Proceedings of the 2000 NSF Design and Manufacturing Grantees Conference． Vancouver，2000: 123 ［11］ Liu D Y． Study and Realization of Data Processing Software for Rapid Prototyping Processes［Dissertation］． Xiamen: Huaqiao University，2000 ( 刘道远． 快速成形中数据处理软件的研究与实现［学位论 文］． 厦门: 华侨大学，2000) ［12］ Zhang M． Study on Generation and Optimization for Scanning Path in RP［Dissertation］． Xi’an: Xi’an University of Science and Technology，2006 ( 张曼． RP 中扫描路径的生成与优化研究［学位论文］． 西 安: 西安科技大学，2006) ·1411·