连铸坯凝固传热的交替隐式解法

D0I:10.13374/j.issnl001-053x.1995.s1.021 第17卷增刊 北京科技大学学报 Vol.17 1995年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1995 连铸坯凝固传热的交替隐式解法 张慧芳 吴懋林 北京科技大学 摘要建立了连铸板坯凝固传热的二维数学模型，用交替隐式差分格式对摸型进行离散化然后在 计算机上求解，并用现场测试值对模型的数值计算结果进行了验证， 关键词连铸，凝固，传热，数学模型 Alternate Implicit Solution for Heat Transfer in Continuous Cast Steel Slab Zhang Huifang Wu Maolin University of Science and Technology Beijing ABSTRACT A mathematical model for heat transfer in continuous cast steel slabs has been established.An al- ternate implicit difference technique was used to reduce the transient conduction equation and boundary equafions to the algebraric eguations which can be programed for computer solution.The result of calculation was tested and verifide. KEY WORDS continuous casting.solidification,heat transfer,mathematical model 目前传热数模的求解大多采用的是显式有限差分方法「]，而用交替隐式格式的很少1.但 从理论上的比较可以知道，交替隐式格式在运算速度及解的稳定性方面有着显式差分格式无 法比拟的优越性).因此，在求解数模型过程中采用了交替隐式差分格式，并将其计算结果与 显式格式的计算结果进行比较. 1连铸板坯凝固传热数学模型 1.1建立数模的前提条件 假设：(1)忽略拉坯方向的传热，仅考虑铸坯厚度和宽度两个方向的传热，即采用二维 ·1995一10-16收稿

第 卷 增刊 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 连铸坯凝 固传热 的交替隐式解法 张 慧芳 吴 惫林 北 京科技大学 摘要 建立 了连 铸板 坯凝 固传热 的二 维数学模型 ， 用 交替 隐式差分格式对模 型 进行离散 化然后 在 计算机上 求解 ， 并 用现 场测 试值 对模型 的数值计算结果进行 了验证 关键词 连 铸 ， 凝 固 ， 传热 ， 数学 模 型 一 一 段 氏 一 只 一 浏 月 一 一 · ， ， ， 浏 目前 传热 数模 的求 解大 多采 用 的是 显式 有 限差分方 法 ， 而 用 交替 隐式 格式 的很 少川 但 从理 论上 的 比较 可 以 知道 ， 交替 隐式 格式 在运 算速 度及解 的稳 定性方面有 着 显 式 差分 格式无 法 比拟 的优越性 圈 因此 ， 在 求解数模 型过 程 中采 用 · 了交替 隐式 差 分格式 ， 并将其计算结 果 与 显式格式 的计 算结 果进 行 比较 连铸板坯凝固 传热数学模型 建立数模 的前提 条件 假设 忽略 拉坯 方 向的传热 ， 仅 考虑 铸 坯厚度和 宽度两 个方 向的传热 ， 即 采 用 二 维 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－53x．1995．s1．021

张慧芳等：连铸坯凝固传热的交替隐式解法 ·101· 模型。 (2)铸坯厚度和宽度方向的传热看成轴对称，温度场只计1/4的铸坯. (3)注入结晶器的钢液温度恒定. (4)在铸机的同一冷却区，冷却强度相同，忽略铸坯与辊道的接触热阻. (5)对于铸坯液芯运动的对流传热，引入有效导热系数. 1.2凝固传热的控制方程 连铸过程是凝固和冷却的综合过程.在钢液的凝固中除了有液相区和固相区外，在一定 温度范围内还存在液相和固相共存的两相区，若用不稳态导热方程的热源函数来计算凝固潜 热，则描述铸坯凝固过程的主导方程为： Co=div(.gradT)+F(ry,z.) (1) 式中F(x,y,2,τ)表示相变热源的分布特征函数、假定F与铸坯的局部凝固速率成正比： F=pL(af,/ar),则式(I)可改写为： af. ,=div(k·gradT)+pL (2) 式中：p一密度，kg/m3;(。一比热，J/kg·C;k一导热系数，W/m·C；L一凝固潜势，J/ kg:f,一固相率. 令：-骄·配并代入式2，经整理可得： 父aC=drck,gadn） (3) 式(3)为铸坯凝固过程的控制方程.对于矩形断面的二维问题，式(3)可简化为： (4) 式中：C。一等效比热，即： ( T>T. (。= C(T)-1,7 f、 T≤T≤T (5) T<T (C一液相比热，J/kg·C:(,一固相比热，J/kg·(:T一液相线温度，C;T、一固相线温度C 若固相率和温度的关系已知，则结合一定的边界条件和初始条件，便可求得铸坯的温度分布 1.3初始条件和边界条件 铸坯断面坐标的选取如图！，坐标除点选在铸坯拐角处. 初始条件： t=0,T(r,t,0)=TM- 边界条件：

张 慧 芳 等 连 铸坯 凝 固传热 的 交 替 隐式 解法 模 型 铸 坯厚 度 和 宽 度方 向的传热 看 成 轴 对 称 ， 温 度 场 只计 的 铸坯 注 入结 晶器 的钢液 温 度 恒 定 在 铸 机 的 同一冷 却 区 ， 冷 却 强 度 相 同 ， 忽 略 铸 坯 与辊道 的接 触热 阻 对 于 铸 坯液 芯运 动 的对 流 传热 ， 引入 有 效导 热 系数 凝固传热 的控制方程 连 铸过 程 是 凝 固和 冷 却 的综 合过 程 在钢 液 的凝 固 中除 了有 液相 区 和 固相 区外 ， 在 一 定 温度 范 围 内还 存 在液相 和 固相 共存 的两相 区 ， 若 用 不 稳 态导 热 方 程 的热 源 函 数来计 算凝 固潜 热 ， 则描 述 铸 坯凝 固过 程 的主 导方程 为 刃 ’ ， ， ， 、 一 队 。 下、 一 一 龙 只 十 户 犷 ， ， ， 〔， 一 一 式 中 ， ， ， 表 示相 变 热 源 的分 布 特 征 函 数 ， 假 定 与铸 坯 的 局 部 凝 固速 率 成 正 比 一 人 约 ， 则式 可 改 写 为 ， 、 ， ， ， ， 、 人 队 · 不 二 走 十 夕 石 二 〔 尹‘ 〔 夕乙 式 中 一 密度 ， 。 一 比热 ， · 一导热 系数 ， · 一凝 固潜 势 关一 固相 率 · ， 令 誓 一 豁 · 擎 ， 并 代入 式 ， 经 整理 可得 ， 、 日 二 ， ， ， 、 从 · 丽 一 ， · 式 为铸坯凝 固过 程 的控 制 方 程 对 于 矩 形 断 面 的 二维 问题 ， 式 可简 化 为 ， ， 了 ’ 己 ， 日了 ’ ， 日 ， 环 【 、 下干 一 不一 快 二于一 十 二一 快 干 口丁 口 一 口 、 夕 口 式 中 － 等效 比热 ， 即 了 ’ 了 、 镇 镇 、 己一 人一 一 、了， ‘ ， 人 一 一液 相 比热 ， · 〔 ’ 、 一 固 相 比热 ， · 界一液 相 线温 度 ， 大一 固相 线温 度 若 固相 率 和 温度 的关 系 已知 ， 则结 合一 定 的边 界 条件和 初 始 条件 ， 便 可 求得 铸 坯 的温 度分 布 初始条件 和边界 条件 铸 坯 断 面 坐 标的选 取 如 图 ， 坐 标 除 点选 在 铸 坯 拐 角处 初 始 条件 了 ， ， 一 边 界条 件

·102· 北京科技大学学报 x=0 -7=9.03) 7 2 前=0 O y=0 -那=8红，0） y=Sw 9w [N+1 2 =0 ay lii-lii + 式中：TM一浇注温度，C;ST一铸坯厚度，m; i+1 SW一铸坯宽度，m；qw一铸坯宽度方向的表面 M+ 热流密度W/m2:g.一铸坯厚度方向的表面热流 密度W/m2. SW- 2数学模型的有限差分方法 图1铸坯断面及网格划分 带有相变的二维不稳态导热问题的数学描述是一个强非线性的二阶偏微分方程.在数值 求解时，如何经济有效地求解相应的代数方程无疑是非常重要的，本模型中采用的是交替隐式 差分方法.网格划分如图1所示，x方向节点为：i=1~M+1,y方向节点为j=1~N+1; 用热平衡法可推出各节点的交替隐式格式的差分方程.比如内部节点方程可写为（时间步长 △r):前半个时间步长： Ar 4r+ Ar2 k提T T2+(2+票+7：- △x2 2-- 4y2 4y2 4y2 后半个时间步长： 2++)T-07T T+(t1 △y2 △y2 △y2 -学+2-器-器+器 4x2 式中：T,一t时刻节点(i,)的温度值：T1一t+△x/2时刻节点(i,j)的温度值：k-12 k+12,k-12.,k-12一(i,j)点为相应(i一1，)，(i十1，j),(i,j一1)和(i,j十1)点导热系数 的平均值. 铸坯的导热系数k是温度的函数.在液相区，考虑到钢液流动和电磁搅拌引起的热对流， 导热系数以有效导热系数代替. 由上述差分分程可以看出，交替隐式差分方程中包含着3个未知节点温度值，故可用3个 对角线矩阵算法求解， 3数模的计算结果与验证 3.1数模计算结果 连铸传热数学模型计算程序，采用模块化结构，程序用FORTRAN TT编制，在386计

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 一 ‘ 豁 一 、 。 ， ， ， · 了 一 譬 爵 一 。 。 ， ， 下 护一 一 升 式 中 一浇 注温 度 ， 了二二一 一 〕 一 铸坯厚 度 ， “ 、 土 口二者匕 卜于口释半叫 一铸坯宽度 ， 一铸 坯宽 度 方 向的表 面 热流 密度 一铸坯厚度 方 向的表 面 热 流 密度 数学模型的有限差分方法 图 铸坯断面 及网格划分 带 有相 变 的 二 维 不 稳 态 导 热 问 题 的 数 学 描 述是 一 个 强 非 线性 的 二 阶偏 微分方程 在 数值 求解 时 ， 如何 经 济有效地 求解 相 应 的代数方 程 无疑 是 非常重要 的 本模 型 中采 用 的是交替 隐式 差分方法 网格划 分 如 图 所 示 ， 二 方 向节 点 为 一 一 ， 方 向节 点 为 一 一 用热 平衡 法 可 推 出各 节 点 的 交 替 隐 式 格 式 的 差 分 方 程 比 如 内部 节 点 方 程 可 写 为 时 间步 长 △ 前半个 时 间步 长 泛 么 灯 ‘ 厂 户 ’ “ 。 一一，目 丁一一一 一 一几怂，二厂 幼 ‘ 沈 弄 ‘玉 灯 ‘ 几幻人八 八了 鱿 一 乙 二 。 ， 止 宇 一 一广 火 一又一一 ‘ 汽 ，一 厂 乙 兰拌 兰 ‘ 护、 ， 。 二气书井 厂 ， 口 后半个 时间步 长 扛 ， 甲 左纽生些 。 、 ， 产 户 ‘ 汽扛 汽井 、 二 。 工 索 ，一 一 火 一一，丁一一 一几 二厂一 寸 一万，，歹一 夕 孟 。 “ 。 “ 汽井 甲 。 尹， ， 阿 户 “ 怂今 艺 跳 、 甲 。 义 矛一 ， 州卜 、 一一一日 二廿一一一 － 一几 二厂 － 一二一一丁一 产 索 一广 口 ‘ 工 ， ‘ ‘ 工万“ 从宁 式 中 汽 ，一 时 刻 节 点 ， 的 温 度 值 灯 ‘ ’ 一 乙灯 时 刻 节 点 ， 的 温 度 值 风 一 ， ， ， ， ， ， ， 一 ， ， ， 一 ， 少 点 为相 应 一 ， 少 ， ， ， ， 一 和 ， 点导热 系数 的平均值 铸 坯 的导 热 系数 是 温 度 的 函 数 在 液相 区 ， 考虑 到钢液 流 动和 电磁搅拌 引起 的热 对 流 ， 导 热 系数 以 有 效导 热 系数代替 由上述 差分分程可 以 看 出 ， 交 替 隐式 差 分 方 程 中包含 着 个未 知节 点 温度值 ， 故可 用 个 对 角线矩 阵算法求解 数模的计算结果与验证 数模计算结果 连铸传热数学模 型计算程 序 ， 采 用模块 化结构 ， 程 序用 编制 ， 在 计

张慧芳等：连铸坯凝固传热的交替隐式解法 ·103· 算机上运行历时28分钟.图2是模型在标准工况下计算得出的连铸过程中铸坯的温度变化及 凝固状况 1600 400 1400 350 1200 300 250 1000 200 150 800 solid 100 。lqaild 600 ●surface ●overage ocenter 500 0 0 30 40 50 60 离弯月面距离n 图2铸坯的温度变化及凝固状况 TM=1553(',T=1553(,T、=1491(',拉速v=1.4m/min 3.2数模计算结果的验证 连铸机出口温度测试值与计算值的比较见表1，由此说明，模型的计算结果与实际测试结 果较为一致. 表【铸机出口温度测定值与计算值的比较 冷却 出机温度/( 坯 勿 浇注温 拉速/ 度/( m·minf 方式 实测值 计算值 相对误差 129759156 1553 1.10 5 936 958.85 2.38 130013151 1553 1.16 5 928 914.82 1.42 129962152 1568 1.20 5 914 931.45 1.87 129467202 1571 1.14 902 933.46 3.37 4 传热数值解法差分格式的比较 在用有限差分法求解传热数学模型时，交替隐式格式因有效地利用了3对角线矩阵算法， 因此它在减轻代数方程求解的工作量的同时，在算法的稳定性上能较显式差分方法有所改善。 本模型在求解过程中采用的是交替隐式差分方法.为了观察交替隐式差分方法的优点和得到 计算结果，本模型也用显式差分格式作了··些相同条件下的计算，以便与交替隐式方法进行 比较. 采用显式差分格式时，控制方程、初始条件及边界条件同1.2,1,3节中所述.设时间步 长为△τ，并令F=△x/以，则可推出各节点的差分方程.但时间步长△r必须遵守稳定性条件： r≤：/2是+0)

张 慧芳等 连 铸 坯凝 固传热 的 交替 隐式解 法 算机上 运 行 历 时 分钟 图 是模 型在 标准工 况下计 算得 出的连 铸过 程 中铸 坯 的温 度 变 化及 凝 固状 况 侧处以云一 ‘ 。 。 二 砚 凌 … … “ ” “ 一 之 筑 书一一一一杆一一一一 一 丫 。 ” 、 卜斗一 口 。食 离 弯月 面 距 离 图 铸坯 的 温度 变化 及 凝 固 状况 ， 一 、 ， ， ’ ’ ， 拉 速 数模计算结果 的验证 连 铸机 出 口 温度 测试 值 与计 算值 的 比较 见 表 ， 由此 说 明 ， 模 型 的计 算 结 果 与 实 际 测 试 结 果较 为一致 表 铸机出 口 温度 测 定值与计算值的 比较 坯 号 浇注 温 度 拉 速 冷却 方 式 出机温 度 实 测 值 计算值 相 对误 差 传热数值解法差分格式的 比较 在用有限差分法求解 传热 数学 模 型 时 ， 交替 隐式 格 式 因有 效 地 利 用 了 对 角线矩 阵算法 ， 因此 它在 减轻 代数方 程 求 解 的工 作量 的 同时 ， 在 算法 的稳 定性 上 能较 显 式 差 分方法 有所改 善 。 本模 型 在求解 过 程 中采 用 的是 交 替 隐式 差分 方 法 为 了观 察 交 替 隐式 差分方法 的优 点和 得 到 计 算结果 ， 本模型 也用 显 式 差 分 格 式 作 了 一 些 相 同 条件下 的计算 ， 以 便 与交 替 隐式方 法进行 比较 采 用 显 式 差 分 格式 时 ， 控 制 方 程 、 初 始 条件及 边 界条件 同 ， 节 中所述 设 时 间步 长 为 △ ， 并 令 一 △ 区 ’ 。 ， 则可推 出各节 点 的 差 分方 程 但 时 间步 长 △ 必 须遵 守 稳 定性 条件 · 、 区 、 。 岛 多

·104· 北京科技大学学报 计算表明、在相同的计算条件下、显式格式和交替隐式格式的计算结果非常接近，作图 无法区分，所以选取两种算法所得的铸坯表面温度和液芯长度值列表比较，见表2.同时，在 计算所需时间上，两者差别很大.在同一台386计算机上，显式差分格需80min,而交替隐式 格式仅需28mi.从这一点来讲，交替隐式格式求解铸坯凝固传热数学模型有其独到的优越 性. 表2不同差分格式计算值比较 二冷区挖制点号 显式差分法温度/C' 交替隐式差分温度/C 1 1036.75 1036.96 3 898.87 900.68 5 817.86 818.95 2 831.86 833.25 9 853.08 854.44 11 867.11 868.68 13 865.49 866.47 出结晶温度/( 1134.56 1130.00 “冷区终点温度( 958.85 959.07 切割点温度/( 899.11 898.16 液芯长度/m 29.596 29.432 5结论 连铸板坯的二维凝固传热模型是符合生产实际的，其计算所得的铸机出口处铸坯表面温 度与实测值的最大误差仅为3.37%，交替隐式差分格式是一种高效的求解凝固传热数模的有 限差分方法，其解的稳定性及运算速度比显式差分格式更优越. 参考文献 】Hoffken E等.第四届国际连铸会议论文集.中国金属学会连续铸钢学会，1988.3~11 2小门纯一等.铁上钢.1988(7)：111~181 3陶文锭.数值传热学，西安：西安交大出版社

北 京 科 技 大 学 学 报 计算表 明 ， 在 相 同的计 算 条件 下 ， 显 式 格 式 和 交替 隐式 格式 的计 算结果 非常接近 ， 作 图 无法 区分 ， 所 以 选 取 两 种 算 法 所得 的铸 坯 表 面 温 度 和 液 芯 长度值 列 表 比较 ， 见表 同 时 ， 在 计算所需时 间上 ， 两 者 差 别很 大 在 同一 台 计算机上 ， 显式 差分 格需 ， 而交 替 隐式 格式仅需 从这 一 点 来讲 ， 交替 隐式 格式 求 解铸 坯 凝 固传热 数学 模 型 有 其 独 到 的优 越 性 表 不 同差分格式计算值比较 二 冷 区 控制 点 号 显式 差 分 法 温 度 交 替 隐式差分 温 度 ‘ 出结 晶 温 度 二 冷 区 终点 温 度 切割 点温 度 液 芯 长 度 结论 连铸板 坯 的二 维 凝 固 传热 模 型是 符 合生 产 实 际 的 ， 其 计算所得 的铸 机 出 口 处 铸 坯 表 面温 度与实测值的最 大 误 差 仅 为 交替 隐式 差 分 格 式是 一 种 高效 的求 解凝 固传热 数模 的 有 限差分方法 ， 其解 的 稳 定性 及运 算速 度 比显式 差分 格式 更优越 参考文献 等 第 四 届 国际 连 铸 会议 论 文 集 中国 金 属学 会连 续 铸钢 学 会 ， 一 小 门纯 一 等 铁 巴钢 ， 一 一 陶文锉 数值 传热学 西安 西 安 交 大 出 版 社