中=au+aa…8船，+)a80,) ad=0 =2+器-4 据恒等式(u,v,a(u,v))=0,因Aa+0,有 Ou Aa品s-Ay a=-A",= Aa 代回(2一11)，得二次包络的参数式为 ,r2=r2)(u,v,a,t) 之 }A=(u,1v,ria)=0 (2-12) 中=Aa中2-Av中3+Auφ4=0 三、两种包络的关系 上面我们讨论了双参数曲面族的包络和单参数曲面族的二次包络，现在来探讨这两种 包铬之间的联系。由于这两种包络的方程都是相应曲面族的判别方程，在包络存在的条件 下，还需要假设曲面族及其包络都是简单曲面。 在隐式情形，(1一2)就是(2一5)，即 .之 可得结论：“若曲面族及其包络都是简单曲面，且曲面族中的参数及其变化规律相同，则 双参数曲面族的包络等于单参数曲面族的二次包络。” 由此得到求单参数曲面族二次包络的方法，就是先把母面经两次变换，得到双参数曲 面族，然后按(1一2)求其包络。 在参数式情形，以上结论同样成立，讨论如下。 5,以参数表示的两种包络的联系 双参数曲面族的包络Σ的方程(1一13)与单参数曲面族的二次包络Σ的方程(2一12) 对比，由于(2一12)的第三式是中的线性组合等于零，我们已经讨论过，它与(1一13)中 的中1=0等价。现在只须证明A=0与中：=0等价。不失一般性，今证明A=0与中：=0等价。 事实上，将(2一10)代入(2一8)，得到在S2坐标系中双参数曲面族的矩阵表示为 X2 x2 (u,v) y2 y2 (u,v) =B1()C-1(a)22(u,v) (3-1) 22 41 1 如果设M(t)为B(t)的前三行三列矩阵，显然有1M(t)川+0，由(2一10)得 136‘ 衣 〔 〕 · 争幻 · 爵 ， ， 李幻 · 戒 · 箭 ， 飞 ‘ ， 爵 一 。 爵 二 。 据恒等式入 ， 代回 一 ， ， 二 ， 因 奔 。 ， 有 口 口 丽 一 入石 ， 苏 二 一 而 得二 次包 络的参数式为 一 盏 一、 ‘ ，〕 〔 幻 ， ， ， ‘ ， 今 、 六 、 二气 、 、 艺 飞 二 ‘ 、 ‘ ’ ， 、 ‘ ’ ， ’ ‘ ’ ， 一 小二 小 一 小 小 二 三 、 两种包络的关系 上面我们讨论 了双参数曲面族的包络和单参数 曲面族 的二 次包络 ， 现在来探讨这两种 包络之 间的联系 。 由于这两 种包络的方程都是相应 曲面族 的判别方程 ， 在包络存在的条件 下 ， 还偏要假设曲面族及其包络都是简单曲面 。 在隐式情形 ， 一幻 就是 一 ， 即 艺一 艺 可得结论 “ 若曲面族及其包络都是简单曲面 ， 且 曲面族 中的参数及其变化规律相同 ， 则 双参数曲面族的包络等于单参数曲面族的二 次包络 。 ” 由此得到求单参数曲面族二 次包络 的方法 ， 就是先 把母面经 两 次变换 ， 得到双参数 曲 面族 ， 然后按 一 求其包络 。 在参数式情形 ， 以上结论 同样成立 ， 讨论如下 。 二 以，橄农示的两种包络的联系 双参数曲面族 的包络 豆的方程 一 与单参数 曲面 族的 二 次包络艺的方程 一 对 比 ， 由于 一 的第三式是小 。的线性组合等于零 ， 我 们 已经讨论 过 ， 它与 一 中 的小 等价 。 现在只须证 明 二 。 与小 ， 等价 。 不失一 般性 ， 今证明 与今 等价 。 事实上 ， 将 一 代入 一 ， 得到在 坐标系 中双参数 曲面族的矩 阵表示为 一 一 ‘ 一 ， ， ， ， 一 ，‘‘， 、 、 如果设 为 的前三 行三 列矩 阵 ， 显 然有 今 ， 由 一 得