等式右端必定是整数,且其奇偶性与m一致,由此可知极限 f(x+hm)-f(x) h 不存在,也就是说,f(x)在任意一点x是不可导的。这样,一个处处 连续,但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造 出来了。 电子课件演示 Weierstrass的反例构造出来后,在数学界引起极大的震动,因为 对于这类函数,传统的数学方法已无能为力,这使得经典数学陷入又 次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对 这类函数进行研究,从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生 所谓“分形”,就是指几何上的一种“形”,它的局部与整体按某种方 式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道,经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形,但 是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形,它们都具有上面所述 的“自相似性”。如云彩的边界;山峰的轮廓;奇形怪状的海岸线; 蜿蜒曲折的河流;材料的无规则裂缝,等等。这些变化无穷的曲线 虽然处处连续,但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起,就 得到了数学家们普遍的关注,很快就发展为一门有着广泛应用前景的 新的学科。 通过这个例子,同学们可以认识到数学家如何通过从提出猜想 到证明或否定猜想的过程,使数学学科得到发展的,希望学生在今后 的学习中重视对反例的探讨。等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知极限 m ∞→ lim m m h −+ xfhxf )()( 不存在，也就是说， 在任意一点 x 是不可导的。这样，一个处处 连续，但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造 出来了。 xf )( 电子课件演示 Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为 对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又 一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对 这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。 所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方 式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但 是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述 的“自相似性”。如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线； 蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线， 虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起，就 得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的 新的学科。 通过这个例子，同学们可以认识到数学家如何通过从提出猜想， 到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，希望学生在今后 的学习中重视对反例的探讨。 3