2. Peano曲线 什么是曲线?曲线就是一个从实轴上的闭区间到平面(或空间) 的连续映射。如果这个映射具有非零的连续导数,则称曲线是光滑的 大家已经知道光滑曲线是可求长的。否则的话,曲线有可能不可求长。 从常识来讲,曲线所绘出的图形的面积(或体积)似乎应该为零。但 事实上一条曲线所绘出的图形的面积(或体积)并不一定是零。不仅 如此,意大利数学家 Peano(1858年8月-1932年4月)发现,存 在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域(如三角形和正方 形)的连续映射。也就是说,这条曲线通过该二维区域的每个点,这 种曲线被称为 Peano曲线。 在学习了函数序列一致收敛概念以后,我们就能在数学分析课程 中讲解这一数学上的经典结论。以下我们给出一个将[0映满平面上 边长为1/2的正三角形的连续映射的构造方法 设△为平面上边长为12的闭正三角形。作连续映射f:[01→Δ, 使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线,如图 1所示。将Δ分为四个全等三角形,再作f20.→△,使得f在每个 区间44上的像分别完全落在一个小三角形△,(1=0123)上,且∫ ii+I 的像在小三角形△,的部分恰如f的像,如图2所示。继续将每个小 角形△,分为四个更小的全等三角形,作连续映射f[0→Δ,使得在 每个区间[+(=0123)上的像分别完全落在一个小三角形△,上, f在这个区间上的构造完全类似于f在[上的构造,而且f的像在2. Peano 曲线 什么是曲线？曲线就是一个从实轴上的闭区间到平面（或空间） 的连续映射。如果这个映射具有非零的连续导数，则称曲线是光滑的， 大家已经知道光滑曲线是可求长的。否则的话，曲线有可能不可求长。 从常识来讲，曲线所绘出的图形的面积（或体积）似乎应该为零。但 事实上一条曲线所绘出的图形的面积（或体积）并不一定是零。不仅 如此，意大利数学家 Peano（1858 年 8 月—1932 年 4 月）发现，存 在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域（如三角形和正方 形）的连续映射。也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这 种曲线被称为 Peano 曲线。 在学习了函数序列一致收敛概念以后，我们就能在数学分析课程 中讲解这一数学上的经典结论。以下我们给出一个将 映满平面上 边长为 的正三角形的连续映射的构造方法。 ]1,0[ 2/1 设Δ为平面上边长为 的闭正三角形。作连续映射 ， 使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线，如图 1 所示。将Δ分为四个全等三角形，再作 2/1 f1 ]1,0[: Δ→ f 2 ]1,0[: → Δ ，使得 在每个 区间 2 f ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 4 1 , 4 ii 上的像分别完全落在一个小三角形Δi （i = 3,2,1,0 ）上，且 的像在小三角形 的部分恰如 的像，如图 2 所示。继续将每个小三 角形 分为四个更小的全等三角形，作连续映射 ，使得在 每个区间 2 f Δi 1 f Δi f 3 ]1,0[: Δ→ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 4 1 , 4 ii （ ）上的像分别完全落在一个小三角形 上， 在这个区间上的构造完全类似于 在 上的构造，而且 的像在 i = 3,2,1,0 Δi 3 2 3 f f ]1,0[ f 4