更小的三角形的部分恰如f的像,如图3所示。如此继续下去,将正 三角形△等分为4″个小全等三角形,用归纳法可作出连续映射 ∫:[0→△,使得从∫到∫的构造完全类似于从f2到f的构造,且∫ 的像在每个小三角形的部分恰如∫的像。这样就可以构造一个连续映 射序列{f} f2([0,1]) f1([0,1) 图1 3([0,1]) 图3 设m≤n,由序列{}的构造可知,对于每个t∈[0,若f(t)落在某 个△中,则∫()必然也落在这个△中,也就是说可以找到边长为1/2 的小三角形同时含有fn()和f(),因此对一切t∈[,],成立 fn(t)-fn(1)1/2m,更小的三角形的部分恰如 的像，如图 3 所示。如此继续下去，将正 三角形Δ等分为 个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 ，使得从 到 的构造完全类似于从 到 的构造，且 的像在每个小三角形的部分恰如 的像。这样就可以构造一个连续映 射序列 。 1 f 1 4n− f n ]1,0[: Δ→ n−1 f n f 2 f 3 f n f 1 f }{ n f 图 2 图 1 图 3 设 ≤ nm ，由序列 f n }{ 的构造可知，对于每个t ∈ ]1,0[ ，若 ( ) mf t 落在某 个Δk m中，则 ( ) nf t 必然也落在这个 k Δm中，也就是说可以找到边长为 的小三角形同时含有 和 ，因此对一切 m 2/1 f t)( m n f t)( t ∈[0,1]，成立 m m n ff tt ≤− 2/1|)()(| ， 5