其中m≤n。这说明函数序列{,}满足一致收敛的 Cauchy收敛原理, 于是{}在圓上一致收敛于一个连续映射∫:0→Δ,且∫满足 lfn(m)-f()1/2",t∈[0,l 现在证明∫的像为整个△。 先证明Δ上每一点都是f的像集的聚点。从G}的构造可知:f关 于[区间的像到△上任一点的距离不超过1/2。设a是△上任一点, 则对任意的n,存在t∈[01l,使得 a-fn(Ln)1/2。 因此 a-f(n)|a-fn(tn)|+|fn(tn)-f(tn)1/2"+1/2”=1/2, 由n的任意性,可知a是∫的像集的聚点。 显然∫(o)c△。而∫为连续映射,所以f(0为紧集,因此是闭 集,所以f(0包含它的所有聚点,因此f(o.)=△,即∫的像为整个 注可以同样构造一条空间曲线,它通过某个空间区域的每一个点。 3. Schwarz的反例 我们将光滑曲线的内接折线长度的极限定义为曲线的弧长,但这 定义不能推广到光滑曲面的面积定义上去。 Schwarz曾举过一个例 子:即使对一段圆柱面,都无法用“内接多面形之面积的极限”来定 义它的面积。 设一圆柱面的高是h,半径是r,那么它的面积显然是2mh。在其中 。这说明函数序列 满足一致收敛的 Cauchy 收敛原理， 于是 在 上一致收敛于一个连续映射 ≤ nm }{ n f f }{ n ]1,0[ f ]1,0[: → Δ ，且 满足 f m m ff tt ≤− 2/1|)()(| ，t ∈ ]1,0[ 。 现在证明 f 的像为整个Δ。 先证明 上每一点都是 的像集的聚点。从 的构造可知： 关 于 区间的像到Δ上任一点的距离不超过 。设 是 上任一点， 则对任意的 ，存在 ，使得 Δ f }{ n f n f ]1,0[ n 2/1 a Δ n ∈ ]1,0[ nt | ( )| 1/ n n n a f − ≤ t 2 n 。 因此 1 | ( )| | ( )| | ( ) ( )| 1/2 1/2 1/2 n n n n n n n n t t tt − af af f f − ≤− + − ≤ + = ， 由n的任意性，可知a 是 f 的像集的聚点。 显然 。而 为连续映射，所以 为紧集，因此是闭 集，所以 包含它的所有聚点，因此 f ])1,0([ Δ⊂ f f ])1,0([ f ])1,0([ f ])1,0([ = Δ ，即 的像为整个 Δ。 f 注 可以同样构造一条空间曲线，它通过某个空间区域的每一个点。 3. Schwarz 的反例 我们将光滑曲线的内接折线长度的极限定义为曲线的弧长，但这 一定义不能推广到光滑曲面的面积定义上去。Schwarz 曾举过一个例 子：即使对一段圆柱面，都无法用“内接多面形之面积的极限”来定 义它的面积。 设一圆柱面的高是h，半径是r ，那么它的面积显然是2πrh。在 6