1 P(i,j(k)) 同样可以得到与列变换相应的初等矩阵应该指出,对单位矩阵作一次初等 列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中譬如说,把E的i列的 k倍加到j列,我们仍然得到P(i,j(k)因之,这三类矩阵就是全部的初等矩阵 引理对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的 s×s初等矩阵;对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n的初 等矩阵 不难看出,初等矩阵都是可逆的,它们的逆矩阵还是初等矩阵事实上 P(,j)-1=P(i,j,P(i(c)-1=P(ic-),P(i,j(k)=P(i,j(-k) 在第二章§5我们看到,用初等行变换可以化简矩阵如果同时用行与列的初 等变换,那么矩阵还可以进一步化简 可逆矩阵及其逆矩阵的求法 定义11矩阵A与B称为等价的,如果B可以由A经过一系列初等变换得到 等价是矩阵间的一种关系不难证明,它具有反身性、对称性与传递性. 定理5任意一个s×n矩阵A都与一形式为 0 的矩阵等价,它称为矩阵A的标准形,1的个数等于A的秩(1的个数可以是零) 例1用初等变换将下列矩阵化为标准形,行 行 列 列 j k i P i j k i j , 1 1 1 1 ( , ( ))                       =      同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等 列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把 E 的 i 列的 k 倍加到 j 列，我们仍然得到 P(i, j(k)) .因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵. 引理 对一个 sn 矩阵 A 作一初等行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的 ss 初等矩阵；对 A 作一初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 nn 的初 等矩阵. 不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上 ( , ) ( , ) , ( ( )) ( ( )) , ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 P i j = P i j P i c = P i c P i j k = P i j −k − − − − . 在第二章§5 我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初 等变换，那么矩阵还可以进一步化简. 二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法 定义 11 矩阵 A 与 B 称为等价的，如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到. 等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性. 定理 5 任意一个 sn 矩阵 A 都与一形式为                     0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0                 的矩阵等价，它称为矩阵 A 的标准形，1 的个数等于 A 的秩(1 的个数可以是零). 例 1 用初等变换将下列矩阵化为标准形