8.设3阶实对称矩阵A的特征值A1=1,A2=2,A3=-2,a1=(1,-1,1)x是A的属于A1的一个特征向量, 记B=A5-443+E,其中E为3阶单位矩阵 (1)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (2)求矩阵B.(2007年) 9.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3向量a1=(-1,2,-1)2,a2=(0,-1,1)2是线性方程组Ax= 0的两个解 (1)求A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵Q和对角矩阵P,使得QrAQ=P; (3)求A及(A-是E)°,其中E为3阶单位矩阵.(2006年 0100 0010 10.设矩阵A 则A3的秩为?(2007 0001 0000 b (1)求A的特征值和特征向量 (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2004年) 2.已知X=AX+B,其中A 111,B=20,求矩阵X.(1989年) 0-1 13.设3阶方阵A的伴随矩阵为A,且A|=,求(3A)-1-2A.(1989年) 423 14.设矩阵A=110,且AB=A+2B,求矩阵B.(1987年) 123 五.证明题 1.证明n阶矩阵 相似.(2014年) 00 2.设A为n阶非奇异矩阵,a为n维列向量,b为常数,记分块矩阵D 中A·是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵8. 3¢È°› AAäλ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2, α1 = (1, −1, 1)T ¥A·uλ1òáAï˛, PB = A5 − 4A3 + E, Ÿ•Eè3¸†› . (1) yα1¥› BAï˛, ø¶B‹AäÜAï˛; (2) ¶› B. (2007c) 9. 3¢È°› Aà1ÉÉ⁄˛è3, ï˛α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T¥Ç5êß|Ax = 0¸á). (1) ¶AAäÜAï˛; (2) ¶› Q⁄È› P, ¶QT AQ = P; (3) ¶A9(A − 3 2E) 6 , Ÿ•Eè3¸†› . (2006c§ 10. › A =   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   , KA3ùè? (2007c) 11.   1 b · · · b b 1 · · · b . . . . . . . . . b b · · · 1   . (1) ¶AAä⁄Aï˛; (2) ¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2004c) 12. ÆX = AX + B, Ÿ•A =   0 1 0 −1 1 1 −1 0 −1  , B =   1 −1 2 0 5 −3  , ¶› X. (1989c) 13. 3ê Aäë› èA∗ , Ö|A| = 1 2 , ¶|(3A) −1 − 2A∗ |. (1988c) 14. › A =   4 2 3 1 1 0 −1 2 3  , ÖAB = A + 2B, ¶› B. (1987c) . y²K 1. y²n›   1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   Ü   0 0 · · · 1 0 0 · · · 2 . . . . . . . . . 0 0 · · · n   Éq. (2014c) 2. Aènö¤…› , αènëï˛, bè~Í, P©¨› D = E 0 −α T A∗ |A| ! , D = A α α T b ! , Ÿ •A∗¥› Aäë› , Eèn¸†› . 6