图2-1 图2-2 定义2.6设V(F)是一个线性空间,a,α2…,aa∈V,如果存在不全为零的7 ∈F,使 入1a1+入22+…+λa=0 成立,则称∝,2,…,a线性相关,否则线性无关。 线性无关,即“没有不全为零的λ,λ2…,∈F,使得(2-5)式成立”,也就是 “对任何不全为零的λ,λ2…,∈F,(2-5)式都不成立”,这等价于“如果(2-5) 式成立,则λ,2…,必须全为零”,即“仅当λ,2…^全为零时,才使(2-5) 式成立”。 线性相关性:向量组线性相关还是线性无关的性质。 向量a,a2…,an(m≥2)线性相关的等价定义是:若α,a2…,aa中有一个向 量可由其余向量在域F上线性表示,则称α,a2…,a线性相关。 定理2.3V(F)中的向量组a22…n(m22)线性相关的充分必要条件是 α,2…n中有一个向量可由其余向量在域F上线性表示。 证必要性:设α,ax2…,Ox线性相关,则存在不全为零的λ,^2…,λ∈F,使 得 入1a1+入2C aL.=0 为表述简便,不妨设λ1≠0,于是 a1=-入22-…-1-入an 充分性:若α,Q2…,an中的一个向量 μ-1C-1 则 uax+…+H-10-1-a+pax1+…+Haa=0 其中μ,…,μ,-1,μ#,…,μ不全为零,得证图 2-1 图 2-2 定义 2.6 设 V(F)是一个线性空间，1, 2,, mV, 如果存在不全为零的1, 2,…, mF,使 11 + 22 ++ mm = 0 (2-5) 成立，则称1, 2,, m线性相关，否则线性无关。 线性无关，即“没有不全为零的1, 2,,mF, 使得(2-5)式成立”，也就是 “对任何不全为零的1, 2,,mF, (2-5)式都不成立”，这等价于“如果(2-5) 式成立，则1, 2,,m 必须全为零”，即“仅当1, 2,,m 全为零时，才使(2-5) 式成立”。 线性相关性：向量组线性相关还是线性无关的性质。 向量1, 2,, m(m  2)线性相关的等价定义是：若1, 2,, m中有一个向 量可由其余向量在域 F 上线性表示，则称1, 2,, m线性相关。 定理 2.3 V(F)中的向量组1,2,,m(m2)线性相关的充分必要条件是 1,2,,m中有一个向量可由其余向量在域 F 上线性表示。 证 必要性：设1, 2,, m线性相关，则存在不全为零的1, 2,,mF, 使 得 11 + 22 +  + mm = 0 为表述简便，不妨设 1  0 , 于是 1= −1 −1 22 −  − 1 −1 mm 充分性：若1, 2,, m中的一个向量 j = 11 ++ j−1j−1 + j+1j+1 ++ mm 则 11 ++ j−1j−1 − j + j+1j+1 ++ mm = 0 其中1,, j−1, −1, j+1,, m不全为零，得证。 1 1 O O