定理2.3的等价命题α1,ax2…,a(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中 任一个向量都不能由其余向量线性表示 例1R中的e,ea,…,en是线性无关的,其中e=(0,…,0,1,0,…0)是第i个 分量为1,其余分量全为零的向量。因为,由 λe1+λ2e2+…+λea=0 必有λ1=入2 例2线性空间中向量a线性相关的充分必要条件是a为零向量。 例3含零向量的任何向量组{0,a,,…,a-}都线性相关。因为彐λ≠0使 入0+0 0an=0 例4判别R中向量组{a1,a2,ax3和{B,B2B3}的线性相关性,其中 (1,0,-1); 阝1=(1,-3,1) 阝2=( β3=(1,1,3 解a=01-02,∝1,a2,a3线性相关。 对β,β2β3,按定义判别。设 β1+x2B2+x3B3= 3,1)+x2(-1,2,-2)+x3(1,1,3)=(0,0,0) 这个向量方程等价于下面的三元线性齐次方程组 万一+与=0 -2+3 这个方程组只有零解x1=x2=x3=0。即只有全为零的x,x2,X3才使成立,故 β,βB2,B3线性无关。 般若β=(a1,b,c1),β2=(a2,b,c2),B3=(a,b3,c3),则β,B2B3线性相 关(线性无关)的充要条件是三元线性齐次方程组 a1+a2与+a31=0 +b2巧+b3百 +c+ 有非零解(只有零解)。由此得R中任何4个向量,R"中任何n+1个向量都线 性相关。 例5p(x)=1+x,p(x)=1-x,p(x)=x+x2是线性无关的。因为设定理 2.3 的等价命题 1, 2,, m(m  2)线性无关的充分必要条件是其中 任一个向量都不能由其余向量线性表示。 例 1 R n中的 e1, e2,, en 是线性无关的, 其中 ei =(0,, 0, 1, 0,,0)是第 i 个 分量为 1，其余分量全为零的向量。因为，由 1e1 + 2e2 ++ mem = 0 即 (1, 2,, n) =(0,0,,0) 必有 1 = 2 == n = 0. 例2 线性空间中向量  线性相关的充分必要条件是  为零向量。 例 3 含零向量的任何向量组{0, 1, 2,, m}都线性相关。因为   使  0 + 0 1 + 02 ++ 0 n = 0. 例 4 判别 R 3中向量组{1, 2, 3}和{1, 2,3}的线性相关性, 其中 1 = (1, 1, 0) , 2 = (0, 1, 1) , 3= (1, 0, −1) ; 1 = (1, −3, 1) , 2 =(−1, 2, −2) , 3 =(1, 1, 3). 解 3=1−2, 1, 2, 3线性相关。 对 1, 2, 3，按定义判别。 设 x1 1 + x2 2 + x3 3 = 0 即 x1(1, −3, 1) + x2 (−1, 2, −2) + x3 (1, 1, 3) = (0, 0, 0) 这个向量方程等价于下面的三元线性齐次方程组: x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 3 2 0 2 3 0 − + = − + + = − + =      这个方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0。 即只有全为零的 x1 , x2 , x3才使 成立，故 1, 2, 3线性无关。 一般若 1 = (a1 , b1 , c1 ) , 2 = (a2 , b2 , c2 ), 3 = (a3 , b3 , c3 ), 则1, 2, 3线性相 关(线性无关)的充要条件是三元线性齐次方程组 a x a x a x b x b x b x c x c x c x 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 0 0 0 + + = + + = + + =      有非零解（只有零解)。由此得 R 3中任何 4 个向量 , Rn中任何 n + 1 个向量都线 性相关。 例 5 p1(x) = 1+x, p2(x) = 1− x, p3(x) = x + x2 是线性无关的。因为设