+3(x+x2)=0(零多项式) 即 (1+2)+(1-+3)x+3x2=0 于是 (1+12)=0; 从而得1=λ2=A3=0。故p(x),p(x),p(x)线性无关 例6如果向量组{α,α2…,aa}线性无关,则其任一子集也线性无关:如果 向量组{a,a2,…,ah}线性相关,则任何包含它的向量组也线性相关 设{α,αx…α}线性无关,子集为{α,αx,…,ax},如果 入1a1+202+…+λk=0 则必有入1=2=…=k=0(否则有不全为零的λ1,λ2…λ,使 入a1+202+…+λk+00gx1+00k2+…+00n=0 成立,这与假设矛盾),所以{α1,a2…,4线性无关。 定理2.4若向量组{α,αx2…,a}线性无关,而向量组{β,a1a2…,a}线 性相关,则β可由α,α2,…,ax线性表示,且表示法唯 证{β,∝,2,…,a线性相关,存在不全为零的数量λ,λ,λ,…,λ使得 入阝+2x1+x2+…+2axn=0 其中λ必不等于零(如果λ=0,则由{α1,αx2…,a-}线性无关又得λ1,λ2…,λn 必全为零,与题设矛盾),于是 B=--a1-2x2-…-x 再证表示法唯一,设有两种表示法: 阝=ba+ba2+…+b β=c1tc22+…+caOn 于是 (b-c1)a+(b2-c2)x2+…+(bn-c)=0 而{αx,αx2…,∝h}线性无关,所以b-c=0.,即b=c(i=1,2,…,n),故β由a 2…,an的表示法唯1 (1+x)+ 2 (1− x) + 3 ( x + x2 ) = 0 (零多项式) 即 (1 + 2 ) + (1 −2+3 ) x + 3 x 2 = 0 于是 (1 + 2 ) = 0; 1 −2+3 = 0; 3 = 0 从而得 1 = 2 = 3 = 0 。 故 p1(x) , p2(x), p3(x)线性无关 例 6 如果向量组{ 1, 2,, n}线性无关，则其任一子集也线性无关；如果 向量组{ 1, 2, … , n}线性相关，则任何包含它的向量组也线性相关。 设{ 1, 2,, n}线性无关，子集为{ 1, 2,, k},如果 11 + 22 ++ kk = 0 则必有1 = 2 ==k = 0 （否则有不全为零的 1 , 2 ,,k ,使 11 + 22 ++ kk + 0k+1 + 0k+2 ++ 0n = 0 成立，这与假设矛盾），所以{ 1, 2,, k}线性无关。 定理 2.4 若向量组{ 1, 2,, n}线性无关 , 而向量组{, 1, 2,, n}线 性相关 , 则 可由1, 2,, n线性表示，且表示法唯一。. 证 {, 1, 2,,n}线性相关，存在不全为零的数量 ,1, 2,,n使得  +11 + 22 ++ nn = 0 其中  必不等于零(如果  = 0,则由{ 1, 2,, n}线性无关又得 1 , 2 ,, n 必全为零，与题设矛盾), 于是  = − -1 11 − -1 22 −− -1 nn 再证表示法唯一，设有两种表示法：  = b11+b22 ++bnn  = c11+c22 ++cnn 于是 ( b1 − c1)1+(b2 − c2)2++(bn − cn)n=0 而{ 1, 2,, n}线性无关，所以 bi − ci = 0, 即 bi = ci ( i = 1, 2,, n ), 故由1, 2,, n的表示法唯一