推论如果{α,α2…,an}是R中线性无关的n个向量,则R"中任一个向量 a可由a,.2…、On线性表示,且表示法唯一。这是因为R"中任何n+1个向量都线性 相关 定理2.5设V(F)中向量组{β1,β2…,β、}的每个向量可由另一向量组{a1, x2…,a}线性表示。如果s>r,则{β,β2…,βB,}线性相关 R中的几何背景是什么? 证设B=∑a(其中入∈F,j=1,2,…S),又设 X1β1+x2β2+…+xβ=0 ∑xB=∑x∑4)=∑∑xx=0 (两个和号可以交换次序),上式α(i=1,2,…,n)的系数全为零,即 x=0, 式是关于x1,x2,…,x的齐次线性方程组,由于其方程个数r<s,因此必有非 零解,从而有不全为零的x1,x2,…,x使式成立,故{β,β2…,β}线性相关 定理2.5的等价命题如定理2.5所设,若{β1,B2…,B}线性无关,则ssr 2-4有限维线性空间的基和维数向量组的秩 线性空间ⅴ(F)L(α1,…)=L(β,…,B-), 两个子集B1={αn…,a}和B2={B1,…B}都线性无关,则由 阝∈V(F)=L a) 即得m≤n,再由 a;∈V(F)=L(β1,…,βa)i=1,…,n, 又得n≤m,从而m=n 定义2.7如果线性空间(F)的有限子集B={α14…}线性无关,且L(B)= V,则B称为V的一组基,并称n为V的维数(或说V是n维线性空间),记作 dimv=n推论 如果{ 1, 2,, n}是 R n中线性无关的 n 个向量，则 R n中任一个向量 可由1,2,,n线性表示,且表示法唯一。这是因为 R n中任何 n+1 个向量都线性 相关。 定理 2.5 设 V(F)中向量组{1, 2,, s }的每个向量可由另一向量组{1, 2,, r}线性表示。如果 sr, 则{1, 2,, s }线性相关。 R 3中的几何背景是什么？ 证 设 i r i  j ij = = 1 （其中ijF, j = 1, 2,,s), 又设 x1 1 + x2 2 ++ xs s = 0 即 i r i j s j ij r i ij i s j j j s j j x  x     x  = = = = = = = 1 1 1 1 1 ( ) ( ) = 0 (两个和号可以交换次序)，上式 i (i = 1, 2,, n)的系数全为零, 即 0, 1  = = j s j ij  x i = 1,, r 式是关于 x1 , x2 ,,xs 的齐次线性方程组，由于其方程个数 r < s ,因此 必有非 零解，从而有不全为零的 x1 , x2 ,,xs使 式成立，故{1, 2,, s}线性相关。 定理 2.5 的等价命题 如定理 2.5 所设，若{1, 2,, s}线性无关, 则 sr. 2 - 4 有限维线性空间的基和维数 向量组的秩 线性空间 V(F)=L(1,,n)=L(1,,m)， 两个子集 B1 = {1,,n} 和 B2 = {1,,n}都线性无关，则由 j V(F) = L(1,,n) j = 1,, m 即得 m  n , 再由 i V(F) = L(1,,m) i = 1,,n , 又得 n  m, 从而 m = n. 定义 2.7 如果线性空间 V(F)的有限子集 B = {1,,n}线性无关, 且 L(B) = V, 则 B 称为 V 的一组基，并称 n 为 V 的维数(或说 V 是 n 维线性空间)，记作 dimV = n