如果L(S)=V(S是V的有限子集),则S中最大的线性无关向量的个数就 是V的维数。 例R"的维数是n,称为n维向量空间,其中的向量称为n维向量。它的基 {e,e2…;en}叫做自然基。 R[x]是3维线性空间,B1={1,x,x}和B2={1+x,1-x,x+x2}都是R[x]3的 基,,R[x]是n维线性空间,B={1,x,x2…x”}是它的一组基,也叫自然基。 零子空间{0}的维数为零, 在n维线性空间V中,任何n+1个向量n,n2;…,n,都是线性相关的。任 何n个线性无关的向量组成的子集B'={β1…Ba}都是V的基,基并不唯一,但 任一组基所含向量的个数是唯一的。 定理2.6如果W是n维线性空间V的一个子空间,则W的基可以扩充为 V的基(即W的基可添加Ⅴ中若干向量成为V的基) 证归纳法:设W的基B1={α14…on},如果m=n,B1就是V的基.如果m <n,则必存在eV使{ax1…,nan}线性无关,不然的话,dmV<n,与假设 矛盾。如果m+1=n,定理已得证,如果,m+1<n,继续上述步骤,必存在α灬x…, an∈V,使{a…,α,α-l,…aa}线性无关,这就是V的基。 定义2.8设ScV(F),如果S中存在线性无关的向量组B={a,…a-}.且S 中每个向量可由B线性表示,则r叫做S的秩,记作秩(S)=r S是V(F)的子空间,秩(S)=r。→(S)=r (1)秩(S)=r,则S中任何r+1个向量都线性相关。因此S中任何线性无关 的向量组至多含r个向量,并把含r个线性无关向量的向量组称为S的极大线性 无关组。 (2)如果秩(S)=,B={αx,…,a-}是S的极大线性无关组,则L(S)=L(B),即 imL(S)=秩(S) (3)如果S,T是V(F)的两个有限子集,且S中每个向量可由T线性表示 则秩(S≤秩(D。 (4)如果S,T是V(F)的两个有限子集,则L(S)=L(T的充要条件是:S中每 个元素可由T线性表示,且T中每个元素也可由S线性表示(此时也称S与T是 等价向量组)。 证明结论(3) 证设S={a,…a}的极大线性无关组为Bs={a1,…,a}(秩(S)=p),T= B,…Bn}的极大线性无关组为B1={B1…B}(秩(T)=);。由于S中每个向量可由如果 L(S) = V （S 是 V 的有限子集），则 S 中最大的线性无关向量的个数就 是 V 的维数。 例 R n的维数是 n, 称为 n 维向量空间，其中的向量称为 n 维向量。它的基 {e1,e2,, en}叫做自然基。 R[x]3是 3 维线性空间, B1 = {1, x ,x2 }和 B2 = {1 + x , 1−x , x + x2 }都是 R[x]3 的 基,. R[x]n是 n 维线性空间，B = {1, x, x2 ,,x n-1 }是它的一组基，也叫自然基。 零子空间{0}的维数为零， 在 n 维线性空间 V 中，任何 n + 1 个向量 1, 2,,n+1,都是线性相关的。任 何 n 个线性无关的向量组成的子集 B * = {1,,n}都是 V 的基，基并不唯一，但 任一组基所含向量的个数是唯一的。 定理 2.6 如果 W 是 n 维线性空间 V 的一个子空间， 则 W 的基可以扩充为 V 的基(即 W 的基可添加 V 中若干向量成为 V 的基)。 证 归纳法：设 W 的基 B1 = {1,,m}，如果 m = n , B1就是 V 的基. 如果 m < n，则必存在m+1V 使{1,,m, m+1}线性无关，不然的话， dimV < n , 与假设 矛盾。如果 m+1 = n , 定理已得证, 如果，m + 1 < n , 继续上述步骤，必存在m+2,, n V，使{1, , m ， m+1,,n }线性无关，这就是 V 的基。 定义 2.8 设 SV(F)，如果 S 中存在线性无关的向量组 B = {1, ,r}. 且 S 中每个向量可由 B 线性表示，则 r 叫做 S 的秩，记作秩(S) = r . S 是 V(F)的子空间，秩(S) = r。(S)=r (1) 秩(S) = r, 则 S 中任何 r + 1 个向量都线性相关。因此 S 中任何线性无关 的向量组至多含 r 个向量，并把含 r 个线性无关向量的向量组称为 S 的极大线性 无关组。 (2) 如果秩(S) = r, B = {1,, r}是 S 的极大线性无关组，则 L(S) = L(B), 即 dimL(S)=秩(S). (3) 如果 S, T 是 V(F)的两个有限子集，且 S 中每个向量可由 T 线性表示， 则秩(S)秩(T)。 (4) 如果 S, T 是 V(F)的两个有限子集，则 L(S) = L(T)的充要条件是: S 中每 个元素可由 T 线性表示, 且 T 中每个元素也可由 S 线性表示(此时也称 S 与 T 是 等价向量组)。 证明结论(3) 证 设 S = {1,,s}的极大线性无关组为 BS= { 1,,p}(秩(S) = p), T = {1,,t}的极大线性无关组为 BT = {1,,r}(秩(T) = r);。由于 S 中每个向量可由