T线性表示→由B线性表示,即得p≤r 例已知R的一个子集S={a,.2a2ax},其中 1=(1,1,0,1),a2=(0,1,2,4),3=(2,1,-2.-2),4=(0,1,1,1) 试求LS)的维数及其一组基B。 解求S的一个极大线性无关组, 法1:先考察∝1,α2如线性无关(不成比例):再考察α,a2a3如线性无 关,再考察a,α2a2a4;如α,a2a3线性相关,去掉α3,再考察α,a2,4;如此 继续下去,即可找到S的一个极大线性无关组 法2设 x1O1+x2Q2+x3O3+x404=0 (1) 得方程组 (2) 0x1+2x2-2x3+x4=0 4x2-2x3+x4=0 其增广矩阵为 l111;0 厅初等变换 02-21:0 020:0 (4) 0001:0 0000:0 (4)所对应的齐次线性方程组有非零解,所以α1,2,a3,1线性相关。由于(3) 中的系数矩阵的4个列向量分别是a1,a2,a2,a4,因此,如果去掉a3,考察a1,Q2, 4的线性相关性,设 xa1+x2Q2+x404=0 则由(5)所得的方程组的增广矩阵就是把(3)中第3列去掉的矩阵。用高斯消 元法解方程组 (5)得到的同解方程组对应的增广矩阵就是在矩阵(4)中去掉第3列,即 00:0 (6) 000:0 (6)所对应的方程组只有零解x=x2=x4=0,故α,a2,a4线性无关它就是S 的一个极大线性无关组。于是dmnL(S)=3,L(S)的一组基为{a1,a2,a4}。T 线性表示  由 BT线性表示，即得 p  r . 例 已知 R 4 的一个子集 S = { 1,2, 3, 4}，其中 1 = (1, 1, 0, 1), 2 = (0, 1, 2, 4), 3 = (2, 1, −2. −2) , 4 = (0, 1, 1, 1). 试求 L(S)的维数及其一组基 B。 解 求 S 的一个极大线性无关组， 法 1: 先考察 1, 2, 如线性无关（不成比例）； 再考察 1, 2, 3, 如线性无 关，再考察1, 2, 3, 4 ；如1, 2, 3 线性相关，去掉 3, 再考察1, 2, 4 ；如此 继续下去，即可找到 S 的一个极大线性无关组。 法 2 设 x11 + x22 + x33 + x44 = 0 （1） 得方程组        + − + = + − + = + + + = + + + = 4 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x （2） 其增广矩阵为 ⎯⎯⎯⎯→             − − 行初等变换 1 4 2 1 0 0 2 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 0 0 （3）             − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 （4） （4）所对应的齐次线性方程组有非零解，所以1 ,2 ,3, 4 线性相关。由于（3） 中的系数矩阵的 4 个列向量分别是1 ,2 ,3, 4，因此，如果去掉 3，考察 1 ,2 , 4 的线性相关性，设 x11 +x22 +x44 = 0 （5） 则由（5）所得的方程组的增广矩阵就是把（3）中第 3 列去掉的矩阵。用高斯消 元法解方程组 （5）得到的同解方程组对应的增广矩阵就是在矩阵（4）中去掉第 3 列，即             0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 （6） （6）所对应的方程组只有零解 x1 = x2 = x4 = 0, 故1 ,2 , 4 线性无关,它就是 S 的一个极大线性无关组。于是 dimL(S) = 3, L(S) 的一组基为{1 ,2 , 4 }