运城学院应用数学系2016-2017学年第一学期期末考试抽象代数A 一、填空题（每空3分，共30分） 1、已知群G中的元素a的阶等于6，则a4的阶等于3。 2、19阶群有2个子群。 3、设H是群G的子群，且G有左陪集系{H,aH,bH,cH}。如果H的阶为5， 那么G的阶为20。 4、4元对称群S4有12个奇置换。 5、规定实数集R上的运算×为a×b=2ab+1(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足交换率。 6、H是群G的正规子群，商群么中的运算为aHbH=abH,则么的单位元 为H_。 7、在同构的意义下，有2个6阶群。 8、10阶循环群有4个生成元。 9、设0是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么a=p(a)。 l0、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a=bxc,acx=xac,那么x= be"a1 二、简答题（每小题10分，共40分) 11、若a是群G中唯一的2阶元素，证明a是中心元。 证明：对任意的x∈G,有x:=2,由2阶元的唯一性得xax'=a,即xa=ax, 所以a是中心元。..10分 12、设两个6次置换0= 123456 312645 ,= 123456 ,求o1。 2 45613 2345 6 5分 34 m-G 6123456)123456 5八516234435126 5分 13、设φ是群G到群H的一个同态映射，S是G的子群，证明S的象集p(S)是 H的子群。 证明：对任意的X,y∈p(S),存在s,t∈S,使得x=p(s),y=p(t),则xy=p(s)p(t) =p(st),由于st∈S,所以xy∈p(S):5分 又p(s)∈p(S),且x0(s)=o(s)p(s)=p(ss)=p(e),而p(e)是H的单位元，所 以φ(s)是x的逆元。 所以p(S)是H的子群。5分 14(10分)、已知G={(a,b)a,b∈R,a≠0}关于乘法：(a,b)(c,d)=(ac,ad+b)是群， K={L,b)b∈R,R*为非零实数关于普通乘法做成的群。证明：G火三R。运城学院应用数学系 2016-2017 学年第一学期期末考试抽象代数 A 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 6，则 a 4 的阶等于 3 。 2、19 阶群有 2 个子群。 3、设 H 是群 G 的子群，且 G 有左陪集系{H，aH，bH，cH}。如果 H 的阶为 5， 那么 G 的阶为 20 。 4、4 元对称群 S4 有 12 个奇置换。 5、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=2ab+1(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 交换率 。 6、H 是群 G 的正规子群，商群 G H 中的运算为 aH·bH = abH，则 G H 的单位元 为 H 。 7、在同构的意义下，有 2 个 6 阶群。 8、10 阶循环群有 4 个生成元。 9、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a  ，那么 1 a  = 1 ( ) a  。 10、设 a、b、c 和 x 都是群 G 中的元素，且 x 2 a = bxc-1，acx = xac，那么 x = bc-1 a -1 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、若 a 是群 G 中唯一的 2 阶元素，证明 a 是中心元。 证明：对任意的 x∈G，有 1 xax a 2    ，由 2 阶元的唯一性得 xax-1 =a，即 xa=ax， 所以 a 是中心元。……10 分 12、设两个 6 次置换 1 2 3 4 5 6 3 1 2 6 4 5         ， 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 1 3         ，求 1   。 解： 1 1 2 3 4 5 6 5 1 6 2 3 4          ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3 1 2 6 4 5 5 1 6 2 3 4 4 3 5 1 2 6                      。......5 分 13、设 φ 是群 G 到群 H 的一个同态映射，S 是 G 的子群，证明 S 的象集 φ(S)是 H 的子群。 证明：对任意的 x, y∈φ(S)，存在 s, t∈S，使得 x = φ(s), y = φ(t)，则 xy = φ(s)φ(t) = φ(st)，由于 st∈S，所以 xy∈φ(S)；......5 分 又 φ(s-1 )∈φ(S)，且 xφ(s-1 ) = φ(s)φ(s-1 ) = φ(ss-1 ) = φ(e)，而 φ(e)是 H 的单位元，所 以 φ(s-1 )是 x 的逆元。 所以 φ(S)是 H 的子群。......5 分 14 (10 分) 、已知 G a b a b R a    {( , ) , , 0} 关于乘法：(a, b)(c, d) = (ac, ad + b)是群， K b b R   {(1, ) }，R*为非零实数关于普通乘法做成的群。证明： G * R K 