证明：给出G到R*的映射p,例如p:(ab)→a。3分 证明p是满同态。3分 计算Ker0=K。.3分 由群的基本同态定理得出结论。1分 三、解答题（每小题10分，共30分) 15、证明数集Z√-2]={a+b√-21a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。 证明：1)任给a=a+b√-2，B=c+d-2∈Z√-2]，a,b,c,d∈Z,则 a+β=(a+c)+(b+dV-2∈Z√-21 a邱=(ac-2bd)+(ad+bc)V-2∈Z√-2] 所以，数的加法与乘法是Z、-21的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z、√-2]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0V-2∈Z[-2],且对任意的a=a+b-2∈Z[-2],有0+a= a+0=a,所以0为Z[-2]的零元。2分 4)对任意的a=a+b√-2∈Z√-2]，有-a=-a-b√-2=(-a)+ (-b)-2∈Z[-2],且a+()=0,所以，a=a+b-2∈Z-2]的负元为(-a)+ (b)2∈ZI-2]。.2分 5)因为1=1+0√-2∈Z[V-2],且对任意的a=a+b√-2∈Z[V-2],有1a=a1 =Q,所以数1为Z[√-2]的单位元。.2分 16、魔方(3阶魔方)是由26个小正方体组成的 去心大正方体（去除了中心小正方体），共有6个面， 每个面上有9个小块，共54个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用f、b、r、I、u、d 来表示，即f表示前表面，b后表面、r右表面、1左 表面、u上表面、d下表面，并将这6个字母标在相 应面的中心块上。 面对魔方的f面，将其顺时针旋转90°的操作证明：给出 G 到 R*的映射 φ，例如 φ: (a, b)→a。......3 分 证明 φ 是满同态。......3 分 计算 Kerφ = K。......3 分 由群的基本同态定理得出结论。......1 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ] αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ] ， 有 -α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分 16、魔方(3 阶魔方)是由 26 个小正方体组成的 去心大正方体(去除了中心小正方体)，共有 6 个面， 每个面上有 9 个小块，共 54 个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用 f、b、r、l、u、d 来表示，即 f 表示前表面，b 后表面、r 右表面、l 左 表面、u 上表面、d 下表面，并将这 6 个字母标在相 应面的中心块上。 面对魔方的 f 面，将其顺时针旋转 90º的操作