第六讲、习题课 于江 第一比较原理 fe,,F(z,)∈C(G,且fz,)≤F(红，，(a,)∈G。y=(,y= (x),x∈(a,b)分别为 (E) =f, (E2) du =F(.y). yo)=0: y(o)=yo: 的解。则 ()p()<(),x∈(r0,b) (②)p(e)>(x),x∈(a,ro). 证明：令()=红)-p(红)，则有 ∫ln=-p=Fo-fo.>0, (eo)=0. 在0的邻域内成立。因此3g>0,→（回>0,0<工<0+0 若()不成立，则3r1∈（任0，b),子(x1)=0。令 8=min{lv()=0,ro<< 于是，(=0，且()>0，x0<<3→(3)≤0. 另-方面，()=g(8)-(=F(8,)-fB,)>0,y=()=(,矛 盾！ 例1讨论积分曲线=(-2w-3)c P117,2.求一微分方程，使其有奇解y=sinx。 18˘!SKë uÙ 1ò'n f(x, y), F(x, y) ∈ C(G),Öf(x, y) ≤ F(x, y), (x, y) ∈ G"y = ϕ(x), y = φ(x), x ∈ (a, b)©Oè (E1)    dy dx = f(x, y), y(x0) = y0, (E2)    dy dx = F(x, y), y(x0) = y0, )"K (1) ϕ(x) < φ(x), x ∈ (x0, b); (2) ϕ(x) > φ(x), x ∈ (a, x0). y²¶ -ψ(x) = φ(x) − ϕ(x)ßKk    dψ dx |x=x0 = φ 0 (x0) − ϕ 0 (x0) = F(x0, y0) − f(x0, y0) > 0, ψ(x0) = 0. 3x0çS§·"œd∃σ > 0, −−3 ψ(x) > 0, x0 < x < x0 + σ" e(1)ÿ§·ßK∃x1 ∈ (x0, b), −−3 ψ(x1) = 0"- β = min{x|ψ(x) = 0, x0 < x < b}. u¥ßψ(β) = 0ßÖψ(x) > 0, x0 < x < β =⇒ ψ 0 (β) ≤ 0" ,òê°ßψ 0 (β) = φ 0 (β) − ϕ 0 (β) = F(β, γ) − f(β, γ) > 0, γ = φ(β) = ϕ(β)ßg Òú ~ 1 ?ÿ»©­Çy 0 = (y 2 − 2y − 3)e x 2 P117, 2. ¶òá©êß߶Ÿk¤)y = sin x