例54.2求f(x)=sinx和f(x)=cosx在x=0处的 Taylor公式 解先考虑f(x)=sinx。 由于对k=0,1,2,…,有 k (x=sinx+ 于是 k=2n (-1)”,k=2n+1 因此sinx在x=0处的 Taylor公式为 2n+1 sinx=x-=+ +(一 +2n+2(x) (2n+ 相应的余项为 n()-x2),或n(1)=-5m(x+2n+3x,oe (2n+3)!例 5.4.2 求 fx x ( ) sin = 和 fx x ( ) cos = 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 先考虑 fx x ( ) sin = 。 由于对 k = 012 ,, , "，有 ( ) ( ) sin π 2 k k fx x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 于是 ⎩ ⎨ ⎧ +=− = = ,12,)1( ,2,0 )0()( nk nk f n k 因此sin x 在 x = 0处的 Taylor 公式为 )!12( )1( !5!3 sin 53 12 + −+−+−= + n xx x xx n " n + + r x 2 2 n ( ) ， 相应的余项为 )()( 22 22 + + = n n xoxr ，或 2 3 2 2 2 3 ( ) sin π , (0,1) (2 3)! 2 n n x n r x x n θ θ + + ⎛ ⎞ + = +∈ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠