56.设随机变量X,Y,Z相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),求随机变量函 数 U=X2+Y2+Z2 的分布函数与概率密度;并验证定理1当k=3是成立, 即 x 解:X,,Z~N(01),且相互独立,∴f(x,yz)= Fu(u)=P(U<u)=P(X+Y+2<u ∫f(xy)odh=-dpJ √ dol e 2 r sin pdr 2 rVu rdr u>0 0,u<0 2 e-u >0 f()=√2z 0,0<0.5.6. 设随机变量 X, Y, Z 相互独立，都服从标准正态分布 N（0, 1），求随机变量函 数 的分布函数与概率密度；并验证定理 1 当 k=3 是成立， 即 . 解: 且相互独立， 22 2 UX Y Z = ++ ( ) 2 U ~ χ 3 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 3 1 0 1 xyz X ,Y ,Z ~ N , , f x,y,z e , 2 2 22 2 22 2 2 2 2 3 0 00 2 2 2 0 1 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 0 2 11 0 22 2 0 00 U r u x yzu r u u u U F u PU u P X Y Z u f x, y,z dxdydz d d e r sin dr e r dr , u ; ,u . e u ue ,u ; f u u , . π π π θ ϕ ϕ π π π π − ++≤ − − − + + − ∴ = ∴ = ≤= ++ ≤ ⎧⎪ = ⎪⎪⎪ = ⎨ = > ⎪⎪⎪⎪⎩ ≤ ⎧⎪ = > = ⎨⎪⎩ ≤ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∵