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11.已知二次型f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cx3-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2 (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值; (2)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.(1996年) 12.二次型f=2x12+3x2+3x32+2ax2x3,(a>0),通过正交变换可化为标准式:f=y12+2y2+592 求参数a和所用的正交变换矩阵.(199年 13.求一个正交变换,使二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x2+x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3化为标准式 (1990年) 四.证明题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记a=(a1,a2,a3)2,B (b1,b2b3) (1)证明二次型f对应的矩阵为2aa+B1B (2)若a,B正交且均为单位向量.证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2v2+v2.(2013年) 2.设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=ME+AA.试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩 阵.(1999 3.设A是n阶正定阵,求证:|A+I1>1.(1991年) 吕洪波林秋林程潘红林鹭整理)11. Æg.f(x1, x2, x3) = 5x 2 1 + 5x 2 2 + cx2 3 − 2x1x2 + 6x1x3 − 6x2x3ùè2. (1) ¶ÎÍc9dg.ÈA› Aä; (2) ç—êßf(x1, x2, x3) = 1L´¤´g­°. (1996c) 12. g.f = 2x1 2 + 3x2 2 + 3x3 2 + 2ax2x3,(a > 0), œLCÜåzèIO™:f = y1 2 + 2y2 2 + 5y3 2 , ¶ÎÍa⁄§^CÜ› . (1993c) 13. ¶òáCÜ,¶g.f(x1, x2, x3) = x1 2 + 4x2 2 + x3 2 − 4x1x2 + 4x1x3 − 8x2x3 zèIO™. (1990c) o. y²K 1. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα = (a1, a2, a3) T , β = (b1, b2, b3) T . (1) y²g.fÈA› è2α T α + β T β; (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛. y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) 2. Aèm × n¢› , Eèn¸†› , Æ› B = λE + AT A. £y: λ > 0û, › Bè½› . (1999c) 3. A¥n½ , ¶y: |A + I| > 1. (1991c) (½ˆÅ ¢ ߢ ˘ n) 3
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