2.设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数 (1)求∫(x1,x2,x3)=0的解 (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.(2018年) 3.设二次型f(x1,x2,x3)=2xi-2+ar3+2x1x2-8x1x3+2x2x3,在正交变换x=Qy下的标准型 为2+A22.求a的值及一个正交矩阵Q(2017年) 4.矩阵A 011 A为矩阵A的转置,已知r(AA)=2,且二次型f=xA (2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程.(2012年) 5.已知二次型f(x1,x2,x3)=x7Ax在正交变换下x=Qy下的标准型为+,且Q的第三列是(,0,2) (1)求矩阵A (2)证明A-E为正定矩阵其中E为3阶单位矩阵.(2010年) 6.设二次型f(x1,x2,x3)=an2+an2+(a-1)-3+2x1x3-2x2x2 (1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范型是驴+v2,求a的值.(2009年) 7.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)2+(1-a)x2+2x3+2(1+a)x1x2的秩为2 (1)求a的值; (2)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形 3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.(2005年) 8.设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+ax2)2+(x2+ax3)2+…+(xn-1+axn)2+(xn+ax1)2,其 中a(=1,2,,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,,xn)为正定 次型.(2000年) 9.设矩阵A=020,矩阵B=(kE+A),其中k为实数,E为单位矩阵求对角矩阵A使B与A相 101 似,并求k为何值时,B为正定矩阵.(1998年) 10.设二次曲面2+a2+2+2+2x+2y=4,可经正交变换y=Pn化为椭圆柱面方 程n2+4(2=4,求a,b和正交阵P.(1998年)2. ¢g.f(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , Ÿ•a¥ÎÍ. (1) ¶f(x1, x2, x3) = 0); (2) ¶f(x1, x2, x3)5â/. (2018c) 3. g.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + ax2 3 + 2x1x2 − 8x1x3 + 2x2x3, 3CÜx = QyeIO. èλ1y 2 1 + λ2y 2 2 . ¶aä9òá› Q. (2017c) 4. › A =   1 0 1 0 1 1 −1 0 a 0 a −1   , ATè› A=ò, Ær(AT A) = 2, Ög.f = x T AT Ax. (1) ¶a; (2) ¶g.ÈAg.› , øÚg.zèIO., —CÜLß. (2012c) 5. Æg.f(x1, x2, x3) = x T Ax3CÜex = QyeIO.èy 2 1+y 2 2 , ÖQ1n¥( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T . (1) ¶› A; (2) y²A − Eè½› ,Ÿ•Eè3¸†› . (2010c) 6. g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3, (1) ¶g.f› §kAä; (2) eg.f5â.¥y 2 1 + y 2 2 , ¶aä. (2009c) 7. Æg.f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2ùè2. (1) ¶aä; (2) ¶CÜx = Qy, rf(x1, x2, x3)z§IO/; (3) ¶êßf(x1, x2, x3) = 0). (2005c) 8. kn¢g.f(x1, x2, . . . , xn) = (x1 + ax2) 2 + (x2 + ax3) 2 + · · · + (xn−1 + axn) 2 + (xn + ax1) 2 , Ÿ •ai(i = 1, 2, . . . , n)è¢Í. £Ø: a1, a2, . . . , an˜v¤´^áû, g.f(x1, x2, . . . , xn)è½ g.. (2000c) 9. › A =   1 0 1 0 2 0 1 0 1  , › B = (kE + A) 2 , Ÿ•kè¢Í, E踆› . ¶È› Λ, ¶BÜΛÉ q, ø¶kè¤äû, Bè½› . (1998c) 10. g­°x 2 + ay2 + z2 + 2bxy + 2xz + 2yz = 4, å²CÜ   x y z   = P    η ζ   zè˝Œ°ê ßη 2 + 4ζ 2 = 4,¶a, b⁄ P. (1998c) 2