续f(x)≥0,是否仍有limf(x)=0? 设Cf)dx与/+r(a)d收敛求证 f(x)=0. 9.设f(x)单调下降趋于零,f(x)在0,+∞)连续求证: 收敛 10.设f(x)和g(x)是定义在[a,+∞)上的函数且在任何 有限区间a,4上可积证明若/+f2(x)dx与/g2(x)dr收 敛则[f(x)+9(x)2dn与+f(x)(a)d也收敛 11.证明:(1)设f(x)在[,+∞)连续,且imf(x)=k,则 f(ar)-f(b If(0)-kln-(6 (2)若上述条件limf(x)=k改为/tadx存在(a>0),则 f(a)-f(b) b >a> 瑕积分 1.下列积分是否收敛?若收敛求其值 (1)J2 (2)J0 3续,f(x) ≥ 0,是否仍有 lim x→+∞ f(x) = 0? 8．设R +∞ a f(x)dx与 R +∞ a f 0 (x)dx收敛,求证: lim x→+∞ f(x) = 0. 9．设f(x)单调下降趋于零,f 0 (x)在[0, +∞)连续.求证: Z +∞ 0 f 0 (x) sin2 xdx 收敛. 10． 设f(x)和g(x)是 定 义 在[a, +∞)上 的 函 数,且 在 任 何 有 限 区 间[a, A]上 可 积,证 明:若 R +∞ a f 2 (x)dx与 R +∞ a g 2 (x)dx收 敛,则 R +∞ a [f(x) + g(x)]2dx与 R +∞ a f(x)g(x)dx也收敛. 11．证明: (1) 设f(x)在[0, +∞)连续,且 lim x→+∞ f(x) = k,则 Z +∞ 0 f(ax) − f(bx) x dx = [f(0) − k] ln b a (b > a > 0). (2) 若上述条件 lim x→+∞ f(x) = k改为R +∞ a f(x) x dx存在(a > 0),则 Z +∞ 0 f(ax) − f(bx) x dx = f(0) ln b a (b > a > 0). §2 瑕积分 1．下列积分是否收敛?若收敛求其值. (1) R 1 2 0 cot xdx; (2) R 1 0 ln xdx : 3