rx(sin x)x=f(sin 10.利用上题结果计算 x sin x (1)sinx dx 1+cos2 1+sin 2x 11.求下列定积分 (1) x2[x]dx (2)Jsgn(x-x3)dx (3)xIr-aldr 12.设f(x)在[a,b]上可积且关于x=T对称,这里a<T<b。则 f()dx=j f(x)dx +2 -f(x)dx 并给出它的几何解释。 xe ≥0, 13.设f(x) 计算/=f(x-2)dt。 14设函数几(x)=1〔(x-0)2(0,其中函数8()在(+)上连续,且8()=5 g(=2,证明f(x)=x0)-g(0Mm,并计算f(和f() 1.设(0+∞)上的连续函数f(x)满足f(x)=x-丁(x)x,求∫(x) 16.设函数f(x)连续,且[扩(2x-0d= arctan(x2),f(1)=1。求[f(x)d。 17.求x|sinx|d,其中n为正整数 18.设函数S(x)=[ cost dt,求hnS(x) 19.设f(x)在(0,+∞)上连续,且对于任何a>0有 g(x)=(=常数,x∈0+∞) 证明:/()C,x=+∞),其中c为常数。 20.设∫(x)在(0,+∞)上连续,证明 dx 21.设∫(x)在[a,b上连续。证明 max 1/(x)kI f(x)dx+I'(x)ldx 22.设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,证明 23.设f(x)在[0,a]上二阶可导(a>0),且∫"(x)≥0,证明:⑵ xf (sin x) dx 0 π ∫ = π π 2 0∫ f (sin x) dx x 。 10. 利用上题结果计算： ⑴ x sin x d 4 0 π ∫ ; ⑵ x x x dx sin 1 cos 0 2 + ∫ π ; ⑶ x x dx 10 2 + ∫ sin π 。 11. 求下列定积分： ⑴ x x dx 2 0 6 [ ] ∫ ; ⑵ ∫ sgn(x x − ) dx 3 0 2 ; ⑶ ∫ x x| | − a dx 0 1 ; (4) ∫ 2 0 [e ]dx x . 12．设 f x( )在[a b, ]上可积且关于 x = T 对称，这里a < T < b 。则 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 并给出它的几何解释。 13．设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + ≥ = − , 0. 1 1 , 0, ( ) 2 x e xe x f x x x 计算 。 ∫ = − 4 1 I f (x 2)dx 14．设函数 ∫ = − x f x x t g t dt 0 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ，其中函数 g(x) 在(−∞,+∞) 上连续，且 g(1) = 5 ， ( ) 2 1 0 = ∫ g t dt ，证明 ′ = ∫ − ∫ ，并计算 x x f x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) f ′′(1) 和 f ′′′(1) 。 15．设(0,+∞) 上的连续函数 f (x) 满足 ，求 。 ∫ = − e f x x f x dx 1 ( ) ln ( ) ∫ e f x dx 1 ( ) 16. 设函数 f (x) 连续，且 arctan( ) 2 1 (2 ) 2 1 0 tf x − t dt = x ∫ ， f (1) = 1。求 。 ∫ 2 1 f (x)dx 17. 求 ，其中 n 为正整数。 ∫ nπ x x dx 0 |sin | 18. 设函数 = ∫ , 求 x S x t dt 0 ( ) | cos | x S x x ( ) lim →+∞ 。 19. 设 f (x) 在(0,+∞) 上连续，且对于任何 a > 0 有 = ≡ ∫ ax x g(x) f (t)dt 常数， x ∈ (0,+∞) 。 证明： x c f (x) = ， x ∈ (0,+∞) ，其中c 为常数。 20. 设 f x( )在(0,+∞) 上连续，证明 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 1 4 1 2 1 2 (ln 2) 2 ln 2 dx x x x dx f x x x x f 。 21．设 f ′(x) 在[a,b]上连续。证明 ∫ ∫ + ′ − ≤ ≤ ≤ b a b a x b a f x dx f x dx b a f x ( ) | ( ) | 1 max | ( ) | 。 22．设 f x( )在(−∞,+∞) 上连续，证明 f u x u du x ( )( − ) ∫0 = ∫ ∫{ } x u f x dx du 0 0 ( ) 。 23. 设 f (x)在[0, a]上二阶可导（ a > 0 ），且 f ′′(x) ≥ 0 ，证明： 4