银川科技职业学院《高整数学》救集 第十一童无穷级邀 例7判别级数】 1 2n-10-2n 的收敛性 -2g1 解ma=lim 这时p=1,比值审敛法失效，必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为 1 2m)2<京，而级数∑收敛，因此由比较审敛法可知所给级数 n=1 h2 收敛 定理5（根值审敛法，柯西判别法） 设∑4n是正项级数，如果它的一般项m,的n次根的极限等于p n=l limun=p, 刀-→00 则当p心1时级数收敛；当p>1(或m,=+o)时级数发散；当p=1时级数 →0 可能收敛也可能发散， 例8证明级数1+受+宁+…+力+…是收敛的， 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差， 解因为m,=mC=m上-0 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛， 以这级数的部分和Sm近似代替和s所产生的误差为 1 1 ((+2(3 1 1 n+网tn+l*+a+iym+.+ n(n+l)" 例6判定级数2+仁1少的收敛性 解因为 m6,=m22+(-y=, 所以，根据根值审敛法知所给级数收敛！ 定理6 (极限审敛法) 设4，为正项级数， n=l 第9页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 9 页 例 7 判别级数      n (2n 1) 2n 1 的收敛性 解 1 (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim           n n n n u u n n n n  这时 1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性 因为 2 1 (2 1) 2 1 n n n     而级数 2 1 1 n n    收敛 因此由比较审敛法可知所给级数 收敛 定理 5 (根值审敛法 柯西判别法) 设   n1 n u 是正项级数 如果它的一般项 un 的 n 次根的极限等于     n n n lim u  则当 1 时级数收敛 当 1(或   n n n lim u )时级数发散 当 1 时级数 可能收敛也可能发散 例 8 证明级数 1 3 1 2 1 1 2 3        n n 是收敛的 并估计以级数的部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差 解 因为 0 1 lim 1 lim  lim     n  n u n n n n n n n  所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 以这级数的部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差为 ( 3) 1 ( 2) 1 ( 1) 1 | | 1 2 3         n n n n n n n r ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 3         n n n n n n  n n(n 1) 1    例 6 判定级数      1 2 2 ( 1) n n n 的收敛性 解 因为 2 1 2 ( 1) 2 1 lim  lim      n n n n n n u  所以 根据根值审敛法知所给级数收敛 定理 6 (极限审敛法) 设   n1 un 为正项级数