银川科技职业学院《高签数学》救集 第十一童无穷级邀 (1)如果m,=1>0或mm,=+∞）)，则级数24，发散： = (2)如果p>l,而mnP4,=10≤1<+∞），则级数，收敛. 例7判定级数2(l+)的收敛性， 解因为1+)小a→o,故 m-mn+=r是=l, 7→00 →00 n 700 根据极限审敛法，知所给级数收敛 例8判定级数Nn+11-cos召)的收敛性， =】 解因为 mn,=mn2nmi0-os马=m,中=号2， 3. 1-→00 V n 2 n 根据极限审敛法，知所给级数收敛 二、交错级数及其审敛法 交错级数：交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑(-1-4，其中，>0. n=l 例如， 立(-是交错级数，但(-)l-cosm江不是交错级数. =1 n 定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数2(-1y-4,满足条件： (1)4m2u+1(n=1,2,3,··5(2)lm4n=0, 则级数收敛，且其和s≤，其余项rn的绝对值rm+1. 简要证明：设前n项部分和为sm 由s2=(4-H(ug-14H·+(2n1-2n),及 S2m=-(2-3)H(4-45+··+(2m-2-2m-1）-2m 看出数列{s2m}单调增加且有界(2m<),所以收敛. 设s2m→s(n→0)，则也有S2+1=S2m+2m+1→s(n-→0)，所以Sm→s(n-→o).从而 级数是收敛的，且Sm<1. 第10页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 10 页 (1)如果 lim  0( lim )   n n n n nu l 或 nu  则级数   n1 un 发散 (2)如果 p1 而 lim  (0 )  n u l l n p n  则级数   n1 un 收敛 例 7 判定级数     1 2 ) 1 ln(1 n n 的收敛性 解 因为 ( ) 1 )~ 1 ln(1 2 2  n n n  故 1 1 ) lim 1 lim lim ln(1 2 2 2 2 2         n n n n u n n n n n  根据极限审敛法 知所给级数收敛 例 8 判定级数 1(1 cos ) 1 n n n       的收敛性 解 因为 2 2 2 2 3 2 3 2 1 ( ) 2 1 1 lim lim 1(1 cos ) lim              n n n n n n u n n n n n n  根据极限审敛法 知所给级数收敛 二、交错级数及其审敛法 交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 交错级数的一般形式为      1 1 ( 1) n n n u  其中 0 n u  例如 1 ( 1) 1 1      n n n 是交错级数 但 1 cos ( 1) 1 1       n n n n 不是交错级数 定理 6（莱布尼茨定理） 如果交错级数      1 1 ( 1) n n n u 满足条件 (1)unun1 (n1 2 3   ) (2) lim 0  n n u  则级数收敛 且其和 su1 其余项 rn 的绝对值|rn|un1 简要证明 设前 n 项部分和为 sn 由 s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n) 及 s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n 看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛 设 s2ns(n) 则也有 s2n1s2nu2n1s(n) 所以 sns(n) 从而 级数是收敛的 且 snu1