银川科技职业学院《高签数学》救集 第十一童无穷级邀 因为=山+1-山+2+·也是收敛的交错级数，所以s+1. 例9证明级数∑(-1)1收敛，并估计和及余项。 n=l n 证这是一个交错级数.因为此级数满足 0%w-分1,22m4-月0. 700 n→01n 由莱布尼茨定理，级数是收敛的，且其和s<仙=l,余项S1= n+ 三、绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛与条件收敛： 若级数方以，收敛，则称级数立4，绝对收敛：若级数24， n=1 n=1 n= 收敛， 而级数u,发散，则称级2山，条件收敛 n=l n=l 例10 级数2(-1)1是绝对收敛的，而级数2(-1y上是条件收敛的. n=1 n2 n=l n 定理7如果级数4，绝对收敛，则级数山，必定收敛。 n=1 n=l 值得注意的问题： 如果级数2，发散，我们不能断定级数2，也发散。 n=l n=l 但是，如果我们用比值法或根值法判定级数∑4发散， n=l 则我们可以断定级数 4，必定发散 n=l 这是因为，此时u不趋向于零，从而也不趋向于零，因此级数∑n也是发 n=】 散的 例11判别级数血0的收敛性， n=i n2 解因为smns1 n2 而级数三六是收敛的 第11页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 11 页 因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1 例 9 证明级数 1 ( 1) 1 1      n n n 收敛 并估计和及余项 证 这是一个交错级数 因为此级数满足 (1) 1 1 1 1    n   un n n u (n1, 2,  ) (2) 0 1 lim  lim    n u n n n  由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和 su11 余项 1 1 | | 1     n rn un  三、绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 若级数   1 | | n n u 收敛 则称级数   n1 n u 绝对收敛 若级数   n1 n u 收敛 而级数   1 | | n n u 发散 则称级   n1 n u 条件收敛 例 10 级数      1 2 1 1 ( 1) n n n 是绝对收敛的 而级数      1 1 1 ( 1) n n n 是条件收敛的 定理 7 如果级数   n1 n u 绝对收敛 则级数   n1 n u 必定收敛 值得注意的问题 如果级数   1 | | n n u 发散 我们不能断定级数   n1 n u 也发散 但是 如果我们用比值法或根值法判定级数   1 | | n n u 发散 则我们可以断定级数   n1 n u 必定发散 这是因为 此时|un|不趋向于零 从而 un 也不趋向于零 因此级数   n1 n u 也是发 散的 例 11 判别级数   1 2 sin n n na 的收敛性 解 因为| 2 2 1 | sin n n na   而级数 2 1 1 n n    是收敛的