所以启=08 所rx<0=m。2子-子=-o日1-08=02 例7某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现从中随 1抽到i等品 机抽取1件，记X,=0其它 i=1,2,3),试求 (1)随机变量X与X,的联合分布： (2)随机变量X与X2的相关系数。 解(1)以A表示抽到i等品(1=1,2,3)， 于是P(A)=0.8P(4)=0.1P(4)=0.1 联合分布为： P{X=0,X2=0}=P(4)=0.1P{X=0,X2=1=P4)=0.1 P{X=l,X2=0}=P(4)=0.8P{X=1,X2=1}=P)=0 (2)E(X)=0.8E(X2)=0.1 DX)=E(X)-E2(X)=0.8-0.82=0.16 D(X2)=E(X22)-E2(X2)=0.1-0.12=0.09 E(X,X2)=0×0×0.1+0×1×0.1+1×0×0.8+1×1×0=0 Co(XX2)=E(XX2)-E(X)E(X2)=0-0.8×0.1=-0.08 Cov(X X2) -0.08 2 p-0160网-月 例8点(X,)在以(0,0)，(1,0)和(0,1)为顶点的三角形内服从均匀分布，试求：X 与Y的相关系数。 解由于三角形的面积为)，所以(X,)的联合密度函数为： 2(x,y)∈D f(x,y)= 0 其它 下面求边缘密度函数∫(x): fx)=f0x,=2=21-x) 即)=0 ∫21-x)0<x<1 其它 由对称性可知，Y的边缘密度函数同X是相同的，又由于 0=2可0-x=号 所以 2 ( ) 0.8   = 所以 P X( 0)  2 2 ( ) X P   − − =  2 2 ( ) 1 ( ) 1 0.8 0.2   =  − = −  = − = 例7 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现从中随 机抽取 1 件，记 1 ( 1, 2,3) 0 X i i  = =   抽到i等品 其它 ，试求： （1）随机变量 X1 与 X2 的联合分布； （2）随机变量 X1 与 X2 的相关系数。 解 （1）以 Ai 表示抽到 i 等品（ i =1, 2,3 ）， 于是 1 P A( ) 0.8 = 2 P A( ) 0.1 = 3 P A( ) 0.1 = 联合分布为： P X X P A  1 2 3 = = = = 0, 0 ( ) 0.1  P X X P A  1 2 2 = = = = 0, 1 ( ) 0.1  P X X P A  1 2 1 = = = = 1, 0 ( ) 0.8  P X X P  1 2 = = = = 1, 1 ( ) 0   (2) 1 E X( ) 0.8 = 2 E X( ) 0.1 = 2 2 2 1 1 1 D X E X E X ( ) ( ) ( ) 0.8 0.8 0.16 = − = − = 2 2 2 2 2 2 D X E X E X ( ) ( ) ( ) 0.1 0.1 0.09 = − = − = 1 2 E X X ( ) 0 0 0.1 0 1 0.1 1 0 0.8 1 1 0 0 =   +   +   +   = 1 2 1 2 1 2 Cov X X E X X E X E X ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0.8 0.1 0.08 = − = −  = − 1 2 1 2 ( ) 0.08 2 ( ) ( ) 0.16 0.09 3 Cov X X D X D X  − = = = − 例8 点 ( , ) X Y 在以 (0, 0) , (1, 0) 和 (0,1) 为顶点的三角形内服从均匀分布，试求: X 与 Y 的相关系数。 解 由于三角形的面积为 1 2 ，所以 ( , ) X Y 的联合密度函数为： 2 ( , ) ( , ) 0 x y D f x y   =   其它 下面求边缘密度函数 ( ) x f x ： 1 1 0 0 ( ) ( , ) 2 2(1 ) x x x f x f x y dy dy x − − = = = −   即 2(1 ) 0 1 ( ) 0 x x x f x  −   =   其它 由对称性可知， Y 的边缘密度函数同 X 是相同的,又由于 1 0 1 ( ) 2 (1 ) 3 E X x x dx = − = 