第一讲解析函数 §1.1预备知识:复数及其运算规则 复数定义设有一对有序实数(a,b),遵从下列运算规则: 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1 b1+b2) 乘法(a,b)(c,d)=(a 则称这一对有序实数(a,b)定义了一个复数a,记为 a=(a,b)=a(1,0)+b0,1) a称为a的实部,b称为a的虚部 Rea b= lm a ★复数相等:两复数的实部、虚部分别相等 复数不能比较大小! ★特殊的复数:实数1 (1,0)(1,0)=(1,0),(1,0)(a,b)=(a,b), 可见(1,0)具有和实数1同样的运算效果 特殊的复数:虚单位i (0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 这样就定义了虚单位i=(0,1), i2 所以,复数a又可以记为 +ib ★特殊的复数:0 (a,b)+(0,0)=(a,b),(a,b)(0,0)=(0,0), 可见(0,0)具有和实数0同样的运算效果 ★复数共轭复数a*≡a-ib与a=a+ib互为共轭 共轭复数的乘积为实数 (a +ib(a-ib)=a+ ★复数减法复数加法的逆运算 (a +ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d) ★复数除法复数乘法的逆运算 c+id (c+id(c-id) c2+d2 c2+d2Wu Chong-shi §1.1 ￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 2 ✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕ §1.1 ✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧ ★✩✪✫ ✬✭✮✯✭✰✱✲ (a, b) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼ ✽✾ (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), ✿✾ (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc), ✻❀❁✮✯✭✰✱✲ (a, b) ❂❃❄✮❅❆✲ α ✳❇❈ α = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a ❀❈ α ❉ ✱❊✳ b ❀❈ α ❉❋❊ ✳ a = Re α, b = Im α. F ★✩●❍✼ ■ ❆✲❉ ✱❊❏❋ ❊❑▲▼◆❖ ❆✲P◗ ❘❙❚❯ ❱ F ❲❳❨★✩✼❩✩ 1 (1, 0)(1, 0) = (1, 0), (1, 0)(a, b) = (a, b), ❬❭ (1, 0) ❪ ✭❫✱✲ 1 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (1, 0) = 1. F ❲❳❨★✩✼❝❞❡ i (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1, ❁❵❢❂❃❄❋❣❤ i = (0, 1) ✳ i 2 = −1. ✐❥✳ ❆✲ α ❦ ❬❥ ❇❈ α = a + i b. F ❲❳❨★✩✼ 0 (a, b) + (0, 0) = (a, b), (a, b)(0, 0) = (0, 0), ❬❭ (0, 0) ❪ ✭❫✱✲ 0 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (0, 0) = 0. F ★✩❧♠ ❆✲ α ∗ ≡ a − i b ♥ α = a + i b ♦❈♣q❖ (α ∗ ) ∗ = α. ♣q❆✲❉ ✿r❈ ✱✲❖ (a + i b)(a − i b) = a 2 + b 2 . F ★✩st ❆✲✽✾❉✉✸✹✼ (a + i b) − (c + i d) = (a − c) + i (b − d), F ★✩✈t ❆✲✿✾❉✉✸✹✼ a + i b c + i d = (a + i b)(c − i d) (c + i d)(c − i d) = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2