第十章网络的流 此时=)+日.显然子仍流-个可行流，但较之原来的可行流手，这时网络中从源 s到汇t的流量增大了一个值。因此，若于一个给定的网络可行流，经过儿次调整，直至 找不出增流链，就得到因大流。 这也就是说，若网络中的流量已达到因大值，则该网络中不可能再找出增流链。若 给定的流∫，减处构造 个点的集合，定义： 1.8∈V1: 2.若，∈和f<则e∈：若∈和fm>0,则∈. 根据的定义，可以证明t∈了1.否则，将有一条从s到t的增流链，此链的全部前 向边(，+1)满足 f（,+1)<c(,+1 而其全部后向边(+1，)满足 f+1,)>0. 这样，这条能将是可增流的，与假设矛盾。因此必有t∈了. 由此，K,7)网络的一个制，该制的容量元c(K,了)。同时，按的定义通过 这个制的流 f,)=∑=∑c=c%,7) (10.10) (iJ)E(V.V;) f7,)=∑ j=0 (10.11) 00E,7) 因减处假定网络中流量已达到因大，有 f)=fM,T)=c(,)2c(K (10.12) 由(10.9).(f)≤c(K). (10.9)与(10.12)式同时满足，一定有v(f*)=c(K). 根据上述注证减处可得因大流因小割定理： 定理10.1.1在运输网络中，最大流的流值等于最小割的容量 §10.2求网络最大流的标记算法 一、算法思路 标记法求因大流是从一个可行流出发（若网络G中没有给定的初始可行流，可由零 流出发)，经过标记和调整两个过程. 标记过程：这是用来寻找增流链的过程 先从源开始，若源能正向输送流到顶点，就说明顶点是可标的。 壁中，网络中的原点或莜标记按标记的先后顺序需逐点检在所以又分检查和襄粉才过 种)，或者未被标记，每个顶点给两种不同的记号：第一个表示它的标记是从哪一顶点得到 的顶点表示是巧中的点，没有标记的不是巧中的点，一目汇得颤中有标远 的。以便找出增流絳第二个标记是确宗增流铩的调格量日用的. 了标记，表明找到了6 ✎✑✏✓✒✕✔✓✖✑✗✓✘ ✶✖➘ v(f 0 ) = v(f) + θ✜ ✣✁❉ f 0 ➥✘✖✳✖②✖✓✁✆✖✛, ➦ ❢✖è✁➧❬✍✖✓✁✆✖✛ f, ❻➘❲✟✚✠❲✦✓❃✖Û s Ð✖Ü t ✍✖✛✖➱✁➒✖➋✖Ú✖✳✖② θ ❄✖✜➨✩✁✶, ❂ ✲✳✖②✖➵✖➍✖✍❲✟✚✠✖✓✁✆✖✛, ➋✖♣✁➩✁➫✁➭❅ , ♠ ❆ ✂❏ ❩ ➒✖✛✁➓, â✁❧✖Ð✖✩✖➋✖✛✖✜ ❻ ✯ â✰✯ , ❂✟✚✠❲✦✚✍✖✛✖➱✑➯❍ Ð✖✩✖➋✁❄, ✃✖⑩✁￾✟✚✠❲✦❏✓✖û➡ ✂❩ ➒✖✛➲➓✖✜➄❂ ➵✖➍✖✍✖✛ f, ❼✖❽✖❫✁➳✖✳✖②✖r✖✍➯✁☞ V1, ➍✁☛: 1. s ∈ V1; 2. ❂ vi ∈ V1 ➇ fi,j < cij , ✃ vj ∈ V1; ❂ vi ∈ V1 ➇ fji > 0, ✃ vj ∈ V1 ✜ ❾✁❿ V1 ✍✖➍✁☛, ✓✖✔✁➵✑➸ t ∈ V 1 ✜✵➺✃, ❤✖❪✖✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓, ✶✁➓✖✍✁✇✁⑩➉ ➥s (vi , vi+1) ✷✁✸: f(vi , vi+1) < c(vi , vi+1). ✷✖❵✁✇✁⑩✁↔❲➥s (vi+1, vi) ✷✁✸: f(vi+1, vi) > 0. ❻✖á, ❻✖➷➓✁❤✰✓✁➒✖✛✖✍, ➔❮ ➤✁➻✁➼✜✵✩✁✶✁✳✖❪ t ∈ V 1 ✜ ❚ ✶ ,K(V1, V 1) ✘❲✟✚✠✖✍✖✳✖②✖➈, ￾ ➈✖✍✖➆✖➱✖✘ c(V1, V 1)✜ ④➘ , ➽ V1 ✍✖➍✁☛, ♦✖♣ ❻②✖➈✖✍✖✛✖✘: f(V1, V 1) = X (i,j)∈(V1,V 1) fij = X (i,j)∈(V1,V 1) cij = c(V1, V 1) (10.10) f(V 1, V1) = X (j,i)∈(V1,V 1) fji = 0 (10.11) ✩✖❼✖❽❮ ➍❲✟✚✠❲✦✚✛✖➱✑➯❍ Ð✖✩✖➋, ❪ v(f ∗ ) = f(V1, V 1) = c(V1, V 1) ≥ c(K∗ ) (10.12) ❚ (10.9),v(f ∗ ) ≤ c(K∗ ). (10.9) ➔ (10.12) ■ ④➘✁✷✁✸, ✳✖➍✖❪ v(f ∗ ) = c(K∗ )✜ ❾✁❿✮①⑦➵ , ❼✖❽✖✓✁❧✖✩✖➋✖✛✖✩✖➌✖➈✖➍✖➎: ➾✁➚ 10.1.1 ➪✁➶✁➹✑➘✓➴✑➷ , ➬✁➮✁➱✁✃✁➱✁❐✁❒✁❮✁➬✁❰✁Ï✁✃✁Ð✁Ñ✜ §10.2 ÒÔÓÔÕÔÖÔ×ÔØÔÙÔÚÔÛÔÜ❷Ý Þ❞✵ß✁à✁á✁â ➐◆➑◆●◆▲◆✩◆➋◆✛✰❃◆✳◆②◆✓➲✆◆✛❩ ✰ (❂ ✟➔✠ G ✦➔Ó◆❪◆➵◆➍◆✍➲ã➲ä◆✓➲✆◆✛, ✓ ❚ ★ ✛❩ ✰), ➋✖♣✖➐✖➑✖➇✁➭❅✥✖②✖♣✁å✖✜ æ✁ç✁è✁é: ❻✰❊❬❡✁✂✁➒✖✛✁➓✖✍✖♣✁å. r➲❃◆Û s ê ä , ❂Û s û➲➠➓➥➔❿◆Ï◆✛◆Ð◆q◆r vi , â➲✯ë➸➔q◆r vi ✰✓◆➐◆✍◆✜ ⑩❻②◆♣ å➓✦, ✟➔✠➓✦➔✍◆q◆r❄➲ì➐◆➑ (➽ ➐◆➑◆✍➲r➲↔➲í➲↕➲q➲î◆r➲ï➲ð, ✝✔◆✺➲ñ➲ï➲ð◆➇➲ò➲ï➲ð➲✥ ❫ ), ❄✁óòì➐✖➑✖✜ ➸✖②✖q✖r✖➵✁✥❫ ❏✁④✍✖➑✁ô: ✢✖✳✖②➦✖➧➂✖✍✖➐✖➑✰❃✁õ✖✳✖q✖r✁❧✖Ð ✍ , ✔✧❦✧✂❩ ➒☞✛✧➓; ✢✧✢☞②☞➐☞➑✰✘ ➏➍✧➒☞✛✧➓✖✍✧➭❅➱ θ ❊☞✍☞✜ ⑩ ➐☞➑☞♣✧å✙✦, ❪☞➐☞➑ ✍✖q✖r➦✖➧✰ V1 ✦✚✍✖r, Ó✖❪✖➐✖➑✖✍❏✰ V1 ✦✚✍✖r✖✜➄✳✁ö✖Ü t ❧✖Ð✖Ú✖➐✖➑, ➦ ➸✓✂✖Ð✖Ú