§14R中的点集 教学目的欧氏空间R上的测度与积分是本课程的主要研究对象本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念通过本节的学习可以熟悉欧氏空间上的开集 闭集和 Borel集 Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础 本节要点由R”上的距离给出邻域内点聚点的定义,从而给出开集,闭集 的定义由开集生成一个O-代数引入 Borel集 Cantor集是一个重要的集,它有 一些很特别的性质应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用 充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论.但R”上的 Lebesgue测度与 Lebesgue积分仍是最重要的情形.这不仅是因为R”上的 Lebesgue积分具有广泛的应用, 而且因为R上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例.本节将讨论n维欧式空间中 的一些常见的点集 用R”表示n维欧式空间,即 R"={x=(x1…xn):x1,…;xn∈R} 对任意x=(x12…xn)∈R”,令 称|为x的范数.注意若x∈R,则就是x的绝对值.设x=(x,…x)和 y=(,…yn)是R”中的任意两点定义这两点之间的距离为d(x,y)=|x-川 d(x,y)=(∑(x-y1)2)2 设{xk}是R"中的一个点列,x∈R".若Iimd(xk,x)=0,则称{xk}收敛于x 记为 lim x=x,或x→>x,(k→∞) 邻域。内点与开集 定义1设x∈R",AcR” (1)设E>0.称R”的子集U(x,E)={x:d(x,x0)<}为点x0的E-邻域 (2).若x0∈A并且存在x0的一个邻域U(x0,)∈A,则称x0为A的 个内点(图4-1)28 § 1.4 n R 中的点集 教学目的 欧氏空间 n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和 Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础. 本节要点 由 n R 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集 的定义.由开集生成一个ο -代数引入 Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有 一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用. 充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论. 但 n R 上的 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分仍是最重要的情形. 这不仅是因为 n R 上的 Lebesgue 积分具有广泛的应用, 而且因为 n R 上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例. 本节将讨论 n 维欧式空间中 的一些常见的点集. 用 n R 表示 n 维欧式空间, 即 n R ={ ( , ) : , , }. 1 x = x1 Lxn x1 L xn ∈ R 对任意 x = (x1 ,Lxn ) ∈ , n R 令 ( ) . 2 1 2 2 1 n x = x +Lx 称 x 为 x 的 范 数. 注意若 x ∈ , 1 R 则 x 就是 x 的绝对值 . 设 ( , ) 1 n x = x Lx 和 ( , ) 1 n y = y Ly 是 n R 中的任意两点. 定义这两点之间的距离为d(x, y) = x − y . 即 ( , ) ( ( ) ) . 2 1 1 2 ∑= = − n i i i d x y x y 设{ }k x 是 n R 中的一个点列, x ∈ . n R 若 lim ( , ) = 0, →∞ d x x k k 则称{ }k x 收敛于 x, 记为 lim x x, k k = →∞ 或 x → x, (k → ∞). k 邻域, 内点与开集 定义 1 设 x0 ∈ , n R . n A ⊂ R (1).设ε > 0.称 n R 的子集U(x0 ,ε ) = { : ( , ) } 0 x d x x < ε 为点 0 x 的ε -邻域 (2). 若 x0 ∈ A并且存在 0 x 的一个邻域 ( , ) 0 U x ε ⊂ A, 则称 0 x 为 A 的 一个内点(图 4 1)