(3)若A中的每个点都是A的内点,则称A为R”中的开集.规定空 集②为开集 (4)由A的内点全体所成的集称为A的内部,记为A° A 图4—1 例如,每个有界或无界开区间(a,b),(-∞,a,(a,+∞)都是直线R上的开集.若 x∈R”,p0,则容易证明x的r-邻域U(x,r)是R”中的开集.因此U(x,r)又称 为以x0为中心,以r为半径的开球 定理2(开集的基本性质)开集具有如下的性质 (i).空集②和全空间R”是开集 (i).任意个开集的并集是开集 (i).有限个开集的交集是开集 证明()是显然的.往证().设{A,t∈T}是X中的任意一族开集。任取 ∈∪4.则存在b∈T,使得x∈A因为An是开集,故存在x的一个 邻域U(x,5),使得U(x0,B)<A,于是更加有U(x2,5)c∪xA,这表明x是 4的内点.这就证明了∪xA中的每个点都是其内点因此∪4,是开集现 在证明(i)设A,…A,是开集.任取x∈∩A.则对每个1=1…,n,有x∈A,因 为A是开集,故存在E1>0,使得U(x1,E1)cA.令E=min{E1,…En}.则E>0并且29 (3). 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为 n R 中的开集. 规定空 集∅为开集. (4). 由 A 的内点全体所成的集称为 A 的内部, 记为 . o A 图 4 1 例如, 每个有界或无界开区间 (a, b),(−∞, a),(a, + ∞) 都是直线 1 R 上的开集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是 n R 中的开集. 因此 ( , ) 0 U x r 又称 为以 0 x 为中心, 以 r 为半径的开球. 定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: (i).空集∅和全空间 n R 是开集. (ii).任意个开集的并集是开集. (iii).有限个开集的交集是开集. 证明 (i) 是显然的. 往证 (ii). 设 {A ,t T} t ∈ 是 X 中的任意一族开集. 任取 Ut T At x ∈ ∈ . 则存在 , t0 ∈T 使 得 . 0 At x ∈ 因 为 0 At 是开集 , 故存在 x 的一个 邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 ( , ) . 0 0 At U x ε ⊂ 于是更加有 ( , ) . 0 Ut T At U x ∈ ε ⊂ 这表明 x 是 Ut T∈ At 的内点. 这就证明了Ut T∈ At 中的每个点都是其内点. 因此Ut T∈ At 是开集. 现 在证明 (iii). 设 A An , , 1 L 是开集. 任取 x ∈ . 1 I n i Ai = 则对每个 1, , , . Ai i = L n 有x ∈ 因 为 Ai 是开集, 故存在 > 0, i ε 使得 ( , ) . i i Ai U x ε ⊂ 令 min{ , }. 1 n ε = ε Lε 则ε > 0并且 0 x 1 x ε A ε