U(x6)c∩4.因此x是∩4的内点.这就证明了∩4是开集■ 注意,任意个开集的交集不一定是开集例如,设4=(-1,1).n21.则每个A 都是R中的开集但∩4=0不是开集 聚点与闭集 定义3设A是R"的子集 1).设x0∈R”.若对任意E>0,U(x0,E)中包含有A中的无限多个点,则称x 为A的一个聚点(图4-1中的x1) (2)由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集,记为A (3)若A"cA,则称A为闭集 (4)集A∪A'称为A的闭包,记为A 例如,每个有界或无穷闭区间[a,b](-∞,a],[a,+∞)都是直线R上的闭集.若 x∈R”,p>0,则容易证明集 S(xo, r)=x: d(,xo)sri 是R中的闭集,称之为以x为中心,以r为半径的闭球.又显然有理数Q的导集 Q=R,Q的闭包Q=R 定理4设ACR".则A为闭集当且仅当A为开集 证明必要性.设A为闭集则对任意x0∈A,x不是A的聚点.因此存在x0的 个邻域U(x0,E1),使得U(x0,E1)中至多只包含A中有限个点设这些点为x1…xk,因 为xgA,故x1≠x,=1…k.令E=min{d(x0,x)=1,…k},则E>0.由E的 取法知道U(x,E)∩A=,即U(x0,E)cA.因此x0是A的内点.所以A是开集 充分性.设A为开集则对任意x0∈A,存在x0的一个邻域U(x0,E),使得 U(x0,E)cA.即U(x0,E)中没有A中的点,因此x0不是A的聚点.这表明A的聚点 全部在A中,即AcA.因此A为闭集■ 由定理2和定理4并利用 De Morgan公式,立即可以得到闭集的基本性质如下 定理5闭集具有如下性质 (i).空集和全空间R"是闭集30 ( , ) . 1 I n i Ai U x = ε ⊂ 因此 x 是I n i Ai =1 的内点. 这就证明了I n i Ai =1 是开集. 注意, 任意个开集的交集不一定是开集. 例如, 设 ), 1. 1, 1 = (− n ≥ n n An 则每个 An 都是 1 R 中的开集. 但 {0} 1 = ∞ = I n An 不是开集. 聚点与闭集 定义 3 设 A 是 n R 的子集. (1). 设 x0 ∈ n R . 若对任意ε > 0, ( , ) 0 U x ε 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 0 x 为 A 的一个聚点(图 4 1 中的 1 x ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A ∪ A′称为 A 的闭包, 记为 A. 例如, 每个有界或无穷闭区间[a, b], (−∞, a], [a, + ∞) 都是直线 1 R 上的闭集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明集 ( , ) 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是 n R 中的闭集, 称之为以 0 x 为中心, 以 r 为半径的闭球. 又显然有理数 Q 的导集 Q′ = 1 R , Q 的闭包Q = 1 R . 定理 4 设 A⊂ n R . 则 A 为闭集当且仅当 c A 为开集. 证明 必要性. 设 A 为闭集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 0 x 不是 A 的聚点. 因此存在 0 x 的一 个邻域 ( , ) 0 1 U x ε , 使得 ( , ) 0 1 U x ε 中至多只包含 A 中有限个点. 设这些点为 , . 1 k x Lx 因 为 , x0 ∉ A 故 , 1, , . 0 x x i k i ≠ = L 令 min{ ( , ), 1, }, 0 d x x i k ε = i = L 则ε > 0. 由ε 的 取法知道U(x0 ,ε ) ∩ A = ∅ , 即 ( , ) 0 U x ε c ⊂ A . 因此 0 x 是 c A 的内点. 所以 c A 是开集. 充分性. 设 c A 为开集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 存在 0 x 的一个邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 c U(x0 ,ε ) ⊂ A . 即 ( , ) 0 U x ε 中没有 A 中的点, 因此 0 x 不是 A 的聚点. 这表明 A 的聚点 全部在 A 中, 即 A′ ⊂ A. 因此 A 为闭集. 由定理.2 和定理 4 并利用 De Morgan 公式, 立即可以得到闭集的基本性质如下. 定理 5 闭集具有如下性质: (i).空集∅和全空间 n R 是闭集