(i).任意个闭集的交集是闭集 (i).有限个闭集的并集是闭集 下面的两个定理用序列的语言,给出了A和A中的点的特征以及集A为闭集的等 价条件 定理6设ACR".则有 (i).x∈A当且仅当存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→x (i).x∈A当且仅当存在A中的点列{xk},使得xk→>x 证明(1)设x∈A.则由聚点的定义,对任意k≥1,U(x0,1/k)中包含有A中的无 限多个点.于是集(U(x,l/k)-{x})∩A不空.在其中任取一点记为xk,则{x4}是A 中的点列,并且xk≠x,xk→>x 反过来,设存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→x.则对任意E>0,存在 >0,使得当k≥N时,xk∈U(x,E).若{xk,k≥N}中只有有限项彼此不相等,则 存在一个自然数ko和{x}的一个子列{x},使得x,=x(n≥1)但x≠x这与 x→>x矛盾!因此{xk2k≥N}中必有无穷多项是彼此不同的点这表明U(x,E)中包 含有A中的无限多个点.因此x∈A (i)设x∈A.则x∈A或者x∈A.若x∈A,令x4=x,k≥1,即知结论成立 若x∈A,则由()知道存在A中的点列{xk},使得xk→>x.反过来,设存在A中的 点列{xk},使得xk→x.若xk≠x,k≥1,则由(1)知道x∈A.否则x∈A.在两种 情况下,均有x∈A.■ 定理7设ACR".则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于A 证明必要性.设A是闭集.若{xk}是A中的点列,x→x则由定理6知道 x∈A.由于A是闭集,故A=A.因此x∈A 充分性.设x∈A.由定理6,存在A中的点列{x},使得x→>x.由假定条件, 此时必有x∈A.这表明A'cA.因此A是闭集■ 定义8设A和B是R"的子集.若A→B,则称A在B中稠密.特别地,若 A=R,则称A是R"的稠密子集.若(A)°=,则称A为疏集或无处稠密集 例如,由于Q=R,因此有理数集是R的稠密子集.由于Z°=②,因此整数集 Z是疏集31 (ii).任意个闭集的交集是闭集. (iii).有限个闭集的并集是闭集. 下面的两个定理用序列的语言, 给出了 A′ 和 A 中的点的特征以及集 A 为闭集的等 价条件. 定理 6 设 A⊂ n R . 则有 (i). x ∈ A′当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → (ii). x ∈ A 当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 证明 (i).设 x ∈ A′. 则由聚点的定义, 对任意 k ≥ 1, ( , 1 ) 0 U x k 中包含有 A 中的无 限多个点. 于是集 (U(x, 1 k) −{x}) ∩ A 不空. 在其中任取一点记为 , k x 则{ }k x 是 A 中的点列, 并且 x x , k ≠ x x. k → 反过来, 设存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → 则对任意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 k ≥ N 时, x U(x,ε ). k ∈ 若{x , k N} k ≥ 中只有有限项彼此不相等, 则 存在一个自然数 0 k 和{ }k x 的一个子列{ }, n k x 使得 ( 1). 0 xk = xk n ≥ n 但 , 0 x x k ≠ 这与 x x k → 矛盾! 因此{x , k N} k ≥ 中必有无穷多项是彼此不同的点. 这表明U(x,ε ) 中包 含有 A 中的无限多个点. 因此 x ∈ A′. (ii). 设 x ∈ A. 则 x ∈ A 或者 x ∈ A′. 若 x ∈ A, 令 x = x, k ≥ 1, k 即知结论成立. 若 x ∈ A′, 则由 (i) 知道存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 反过来, 设存在 A 中的 点列{ }, k x 使得 x x. k → 若 x x, k ≠ k ≥ 1, 则由 (i) 知道 x ∈ A′. 否则 x ∈ A. 在两种 情况下, 均有 x ∈ A. 定理 7 设 A⊂ n R . 则 A 是闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列的极限必属于 A. 证明 必要性. 设 A 是闭集. 若{ }k x 是 A 中的点列, x x, k → 则由定理 6 知道 x ∈ A. 由于 A 是闭集, 故 A = A. 因此 x ∈ A. 充分性. 设 x ∈ A′. 由定理 6, 存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 由假定条件, 此时必有 x ∈ A. 这表明 A′ ⊂ A. 因此 A 是闭集. 定义 8 设 A 和 B 是 n R 的子集. 若 A ⊃ B, 则称 A 在 B 中稠密. 特别地, 若 A = , n R 则称 A 是 n R 的稠密子集. 若( ) = ∅, o A 则称 A 为疏集或无处稠密集. 例如, 由于 Q = 1 R , 因此有理数集是 1 R 的稠密子集. 由于 = ∅, o Z 因此整数集 Z 是疏集