50 解方程组 f(x,y)=2xy(4-x-y)-x2y=0 f(x,y)=x2(4-x-y)-x2y=0 得区域D内唯一驻点(2,1),且f(2,1)=4 再求f(x,y)在D边界上的最值 在边界x=0和y=0上f(x,y)=0, 在边界x+y=6上,即y=6-x 于是f(x,y)=x2(6-x)(-2) 由f=4x(x-6)+2x2=0, 得x=0,x2=4→y=6-x|1=4=2,f(42)=-64 比较后可知f(21)=4为最大值, f(4,2)=-64为最小值 例 的最大值和最小值 解由二=(x+y2+1)-2x(x+y=0,=,=(x2+y2+1)2 (x2+y2+1)-2y(x+y) 0. (x2+y2+1)5 解方程组      = − − − =  = − − − = ( , ) (4 ) 0 ( , ) 2 (4 ) 0 2 2 2 f x y x x y x y f x y x y x y x y y x 得区域 D 内唯一驻点 (2,1) ,且 f (2,1) = 4, 再求 f (x, y) 在 D 边界上的最值 在边界 x = 0 和 y = 0 上 f (x, y) = 0 , 在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x 于是 ( , ) (6 )( 2) 2 f x y = x − x − , 由 4 ( 6) 2 0 2 f x  = x x − + x = , 得 x1 = 0, x2 = 4 6 | 2,  y = − x x=4= f (4,2) = −64, 比较后可知 f (2,1) = 4 为最大值, f (4,2) = −64 为最小值. 例 6 求 1 2 2 + + + = x y x y z 的最大值和最小值. 解 由 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y x x y zx 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y y x y z y D