第三章拉格朗日力学(上) (参阅教材第二章) 3.1.理想约束达朗伯原理达朗伯方程(动力学基本方程)(教材§2.1.) 1.虚位移和虚功的概念 为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法,我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实 例:一个质点,质量为m,坐标为(x,y,z),已知的主动力F(x,y,=),受到曲面约束∫(x,y,,1)=0, 未知的约束力N(x,y=) mx-F-N=0 动力学方程为:{m-F1-N,=0 m2-F-N.=0 约束方程为:f(xy,=,)=0.包含六个未知函数x,y,N2,N,N2。在曲面光滑的情况下,未知的 约束力可表为N=Vf,于是六个未知函数归结为四个未知函数x,y,z,,由上述四个方程决定 在时间间隔d中,质点的位移为d(=d+d+k=成h),称为实位移。(由动力学方程唯一决定) F和产+F分别满足时刻t和t+dt的约束方程 f(x,y=,)=0 (x+dx,y+dy, :+d=, t+dr=0 a 从而a+dy+yd+dt=0 这是完整约束加在实位移上的条件 在某一时刻t,想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由t变化引起,而是满 足某一时刻t的约束条件的假想的位移(并不要求满足动力学方程,因而是不唯一的),所以称为虚位移 记为:o6F=xi+y+zk(虚位移用δ来记,以示其无限小)。(广义)坐标的虚位移也称为(广义) 坐标的变分(变更),变分的运算和微分相仿,例如6x=∑,但要注意=0,所以这种变分 也称为等时变分。F和产+δF均满足同一时刻t的约束方程 f(x,y,=,) s,可fxf f(x+6x,y+6y,z+6=,t)=0 a0=0 这是完整约束加在虚位移上的条件 比较完整约束加在虚、实位移上的条件,可知,在稳定约束情形下9=0,和6满足同样的 方程,稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个;不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任 个。由此可见,虚位移其实不是力学中的位移(不需要用动力学方程来决定),它所刻划的是约束曲面的 几何性质:全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约 束曲面的切平面内。 【例】:膨胀着的肥皂泡∫(xy,=,1)=x2+y2+=2-a2=0(不稳定完整约束)1 第三章 拉格朗日力学 （上） （参阅教材第二章） 3．1．理想约束 达朗伯原理 达朗伯方程（动力学基本方程）（教材§2．1．） 1．虚位移和虚功的概念 为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法，我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实 例：一个质点，质量为 m ，坐标为 (x, y,z) ，已知的主动力 F x y z ( , , ) ，受到曲面约束 f (x, y,z,t) = 0 ， 未知的约束力 N x y z ( , , ) 。 动力学方程为： 0 0 0 x x y y z z mx F N my F N mz F N  − − =   − − =   − − = 约束方程为： f (x, y,z,t) = 0 . 包含六个未知函数 Nx Ny Nz x, y,z, , , 。在曲面光滑的情况下，未知的 约束力可表为 N f =  ，于是六个未知函数归结为四个未知函数 x y z , , , ，由上述四个方程决定。 在时间间隔 dt 中，质点的位移为 dr  (= + + = dxi dyj dzk rdt) ，称为实位移。（由动力学方程唯一决定） r 和 r dr + 分别满足时刻 t 和 t dt + 的约束方程  ( )  ( )   + + + + = = , , , 0 , , , 0 f x dx y dy z dz t dt f x y z t 从而 = 0   +   +   +   dt t f dz z f dy y f dx x f 这是完整约束加在实位移上的条件。 在某一时刻 t, 想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由 t 变化引起，而是满 足某一时刻 t 的约束条件的假想的位移（并不要求满足动力学方程，因而是不唯一的），所以称为虚位移。 记为：     r xi yj zk = + + （虚位移用  来记，以示其无限小）。（广义）坐标的虚位移也称为（广义） 坐标的变分（变更），变分的运算和微分相仿，例如： 1 n s s s x x q q   =  =   但要注意 t = 0. ，所以这种变分 也称为等时变分。 r 和 r r + 均满足同一时刻 t 的约束方程  ( ) ( ) , , , 0 , , , 0 f x y z t f x x y y z z t     =   + + + =  从而 0 f f f x y z x y z       + + =    这是完整约束加在虚位移上的条件。 比较完整约束加在虚、实位移上的条件，可知，在稳定约束情形下 0 t f =   ， i dr 和 i  r 满足同样的 方程，稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个；不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任一 个。由此可见，虚位移其实不是力学中的位移（不需要用动力学方程来决定），它所刻划的是约束曲面的 几何性质：全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约 束曲面的切平面内。 【例】：膨胀着的肥皂泡 f ( ) 2 2 2 2 2 x y z t x y z a t , , , 0 = + + − = （不稳定完整约束）